SE_Work2_交点个数

项目	内容
课程：北航-2020-春-软件工程	博客园班级博客
要求：求交点个数	个人项目作业
班级：005	Sample
GitHub地址	IntersectProject

一、PSP估算

在开始实现程序之前，在下述 PSP 表格记录下你估计将在程序的各个模块的开发上耗费的时间。（0.5'）
在你实现完程序之后，在下述 PSP 表格记录下你在程序的各个模块上实际花费的时间。（0.5'）

PSP2.1	Personal Software Process Stages	预估耗时（分钟）	实际耗时（分钟）
Planning	计划
· Estimate	· 估计这个任务需要多少时间	10	10
Development	开发
· Analysis	· 需求分析 (包括学习新技术)	20	60
· Design Spec	· 生成设计文档	10	10
· Design Review	· 设计复审 (和同事审核设计文档)	5	0
· Coding Standard	· 代码规范 (为目前的开发制定合适的规范)	5	0
· Design	· 具体设计	20	60
· Coding	· 具体编码	60	120
· Code Review	· 代码复审	20	0
· Test	· 测试（自我测试，修改代码，提交修改）	30	60
Reporting	报告
· Test Report	· 测试报告	20	60
· Size Measurement	· 计算工作量	20	10
· Postmortem & Process Improvement Plan	· 事后总结, 并提出过程改进计划	20	60
	合计	220	450

如图所示，第一次项目的估计情况是严重与事实不符的，时间上花费了两倍有余，可能是因为事先根本对这些程序没有非常清晰的概念。

二、思路及设计

解题思路描述。即刚开始拿到题目后，如何思考，如何找资料的过程。（3'）

设计实现过程。设计包括代码如何组织，比如会有几个类，几个函数，他们之间关系如何，关键函数是否需要画出流程图？单元测试是怎么设计的？（4'）

代码说明。展示出项目关键代码，并解释思路与注释说明。（3'）

1. 解题思路

最开始最直接的想法就是暴力枚举，每次取一条，和其他所有图形求交点，加入集合中，让集合自动去重。复杂度为$O(N^2)$ ，对于$1\leq N\leq 1000$ 完全没问题，但是经过试验，$N>10^5$ 时不能达到性能要求。

实际上每次取出一条，不用和其他所有图形都求一遍，之前取出过的图形已经求过了不用再求，只用和没有取出的图形求一遍，但是这种思路复杂度没有下降，仍然是一种“暴力求解法”。

转而思考其他方法，动态规划就是一种极佳的办法，也在网络上搜到类似的题目：求直线交点数目，但是并不符合题意，因为他们有一个很重要的假设，任意三条直线不想交与一点。

我们知道，如果只有直线相交，任意三条直线不交一点，且没有直线平行，则总数是固定的$\frac{n(n-1)}{2}$，而每出现下面所示的情况，总数都会相应减小：

聚合点（n条线交于一点）：总数减$\frac{n(n-1)}{2}-1$
平行线（n条线平行）：总数减$\frac{n(n-1)}{2}$

平行线很好说，建立集合列一个个加进来就好，然而真正要命的是聚合点怎么去寻找。三条直线交于一点，不仅需要考虑斜率，还得考虑截距，即ax+by+c=0 中a、b、c都需要考虑。n条直线相交于一点即以下方程组有解：

$$\begin{cases} a_1 x+b_1y=-c_1\\ a_2 x+b_2y=-c_2\\...\\ a_n x+b_ny=-c_n\\ \end{cases} $$

相当于一个维数大于秩的矩阵有解：

$$ \begin{pmatrix} a_{1} & b_{1}\\ \vdots & \vdots\\ a_{n} & b_{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} c_1\\ \vdots\\c_n \end{pmatrix}$$

相当于：

$$ \begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} & c_1\\ \vdots & \vdots &\vdots\\ a_{n} & b_{n} &c_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \\1 \end{pmatrix} = 0$$

其中，

$$\begin{pmatrix} a_{1} \ \vdots\ a_{n} \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} b_{1} \ \vdots\ b_{n} \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} c_{1} \ \vdots\ c_{n} \end{pmatrix}$$ 是在n维空间中的一个向量，而它们的线性组合要能为0向量（其中c为必要项），最终要保证的是三个向量共面！

然而就算你能以$O(1)$的复杂度判断多条直线是否相交与一点，要遍历所有的组合又好比一颗巨大的树。最终只能望而却步。

2. 设计实现过程

主函数：每次输入一个图形，与其他所有图形进行相交运算，将所得的结果存入交点集合

Dot类：继承与$Pair<float, float>$ ，表示点的坐标或者一个向量，能进行加减乘除运算，同时有求模长、单位化方法

class Dot : public pair<float, float> {

public:

    Dot(float a, float b) {

        first = a;

        second = b;

    }

    inline Dot operator+(Dot dot) { return {first + dot.first, second + dot.second}; }

    inline Dot operator-(Dot dot) { return {first - dot.first, second - dot.second}; }

    inline Dot operator*(float t) { return {first * t, second * t}; }

    inline Dot operator/(float t) { return {first / t, second / t}; }

    inline float norm() { return first*first + second*second; }

    inline float abs() { return sqrt(norm()); }

    inline void unify() { *this=*this/abs(); }

};

Line类：有通过两个点坐标初始化方法和三个参数a,b,c初始化方法，有判断是否与另一条线平行，求与另一条线交点的方法

class Line {

public:

    float a, b, c;

    Line(float x0, float y0, float x1, float y1);

    Line(float aa, float ab, float ac);

    bool parallel(Line l);

    void intersect(set<Dot> *intersections, Line l);

    Dot intersect(Line l);

}

Circle类：有通过圆心坐标和半径初始化方法，求到一条直线距离，求与另一个圆交点，求与直线的交点方法。

class Circle {

public:

    float x, y, r;

    Circle(float ax, float ay, float ar) : x(ax), y(ay), r(ar) {}

    float distance(Line l);

    void intersect(set<Dot> *intersections, Line l);

    void intersect(set<Dot> *intersections, Circle c);

};

3. 单元测试

单元测试分别设计了直线与直线相交（包括平行和相交），圆与直线相交（包括相离、相切、相交），圆与圆相交（包括相离、相切、相交）三种情况，输出最后的交点坐标。

如图所示，在这三种测试下，结果均正确。

4. 关键代码说明

因为交点个数可能是0、1、2个，没法设定一个定长的返回值，故只好传入一个指向点集的指针，有几个交点就存几个进去。

首先是Line的两个intersect方法：

// 直接通过公式，返回交点，不想交则报错

Dot Line::intersect(Line l) {

    if(parallel(l)) throw exception();

    return Dot(b * l.c - l.b * c, l.a * c - a * l.c) / (a * l.b - l.a * b);

}

// 将交点加入集合中，忽略错误

void Line::intersect(set<Dot> *intersections, Line l) {

    try {

        intersections->insert(intersect(l));

    } catch (exception e) {}

}

其次是Circle的两个intersect方法，和circle相交的算法直接通过公式计算，不再赘述。而与直线相交需要先做一个到该直线的垂线，求出垂足：

void Circle::intersect(set<Dot> *intersections, Line l) {

    float d = distance(l);

    if (d > r) return;

    Line ll(l.b, -l.a, l.a * y - l.b * x);	// 垂线

    Dot dot = ll.intersect(l);	// 垂足

    if (d == r) {

        intersections->insert(dot);

        return;

    }

    float t = sqrt(r * r - d * d);	// 距垂足长度

    Dot direction(l.b, -l.a);	// 方向向量

    direction.unify();			// 单位化

    intersections->insert(dot + direction * t);

    intersections->insert(dot - direction * t);

}

三、性能及优化

记录在改进程序性能上所花费的时间，描述你改进的思路，并展示一张性能分析图（由 VS 2019 的性能分析工具自动生成），并展示你程序中消耗最大的函数。（3'）

N	时间(ms)
200	9
400	36
600	92
800	175
1000	303
2000	1429
3000	3458
4000	6463
5000	9820
10000	40873

如图所示采用暴力解法，结果大致呈现平方级复杂度，$t=9(\frac{N}{200})^2$，当N取 500w，需要时间5625Mms =1562.5h是根本不可接受的。

通过性能分析图的描述如上，我发现程序中消耗最大的函数是void intersect(set<Dot> *intersections, Circle c);方法：

不可避免地出现了大量不可简化的计算。

void Circle::intersect(set<Dot> *intersections, Circle c) {

    float a1, b1, R1, a2, b2, R2;

    a1 = x;

    b1 = y;

    R1 = r;

    a2 = c.x;

    b2 = c.y;

    R2 = c.r;

    float R1R1 = R1 * R1;

    float a1a1 = a1 * a1;

    float b1b1 = b1 * b1;

    float a2a2 = a2 * a2;

    float b2b2 = b2 * b2;

    float R2R2 = R2 * R2;

    float subs1 = a1a1 - 2 * a1 * a2 + a2a2 + b1b1 - 2 * b1 * b2 + b2b2;

    if(subs1<=0) return;

    float subs2 = -R1R1 * a1 + R1R1 * a2 + R2R2 * a1 - R2R2 * a2 + a1a1 * a1 - a1a1 * a2 - a1 * a2a2 + a1 * b1b1 -

                  2 * a1 * b1 * b2 + a1 * b2b2 + a2a2 * a2 + a2 * b1b1 - 2 * a2 * b1 * b2 + a2 * b2b2;

    float subs3 = -R1R1 * b1 + R1R1 * b2 + R2R2 * b1 - R2R2 * b2 + a1a1 * b1 + a1a1 * b2 - 2 * a1 * a2 * b1 -

                  2 * a1 * a2 * b2 + a2a2 * b1 + a2a2 * b2 + b1b1 * b1 - b1b1 * b2 - b1 * b2b2 + b2b2 * b2;

    float sigma = sqrt((R1R1 + 2 * R1 * R2 + R2R2 - a1a1 + 2 * a1 * a2 - a2a2 - b1b1 + 2 * b1 * b2 - b2b2) *

                       (-R1R1 + 2 * R1 * R2 - R2R2 + subs1));

    Dot dot1(subs2, subs3), dot2(b1 - b2, a2 - a1);

    intersections->insert((dot1 + dot2 * sigma) / (2 * subs1));

    intersections->insert((dot1 - dot2 * sigma) / (2 * subs1));

}