[cf559E]Gerald and Path

将所有线段的端点（即$a_{i}$和$a_{i}\pm l_{i}$）离散，并按照$a_{i}$从小到大排序

定义$f_{i,,j}$表示前$i$条线段在位置$j$之前最多能覆盖的长度（默认覆盖到$j$，允许覆盖到$j$之后，但该部分不计入覆盖的长度），转移对第$i$条线段的方向分类讨论：

（关于"默认覆盖到$j$"，完整的描述即默认$[a_{i},j]$已经被覆盖，即之后覆盖不计算贡献）

1.若第$i$条线段向右覆盖，即有
$$
f_{i,j}=\begin{cases}f_{i-1,j}&(j\le a_{i}或a_{i}+l_{i}<j)\\f_{i-1,a_{i}}+(j-a_{i})&(a_{i}<j\le a_{i}+l_{i})\end{cases}
$$
2.若第$i$​条线段向左覆盖，即有
$$
f_{i,j}=\begin{cases}f_{i-1,j}&(j\le a_{i}-l_{i})\\f_{i-1,a_{i}-l_{i}}+(j-(a_{i}-l_{i}))&(a_{i}-l_{i}<j\le a_{i})\\\max_{1\le k\le i}\left(f_{k-1,a_{i}-l_{i}}+\min(a_{k}+l_{k},j)-(a_{i}-l_{i})\right) &(a_{i}<j)\end{cases}
$$
这里解释一下第3种情况，考虑枚举最终右端点的位置（如果选$k=i$即不存在，注意此时中间应为$a_{k}$），那么注意到在其之后的直线如果向前覆盖到$a_{i}-l_{i}$之前，即已将整个$[a_{i}-l_{i},a_{i}]$全部覆盖，那么显然一定不如向右覆盖，因此即只需要考虑其之前的线段即可

综上，时间复杂度为$o(n^{3})$，可以通过

事实上，还可以进行优化，复杂度的瓶颈在于向左覆盖时$a_{i}<j$的部分，显然该部分可以用线段树优化（只需要对$a_{k}+l_{k}$和$j$的大小关系分类讨论即可），时间复杂度即降为$o(n^{2}\log n)$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 105
 4 map<int,int>mat;
 5 map<int,int>::iterator it;
 6 int n,m,a[N],l[N],pos[N*3],id[N],posl[N],posm[N],posr[N],f[N][N*3];
 7 bool cmp(int x,int y){
 8     return a[x]<a[y];
 9 }
10 int main(){
11     scanf("%d",&n);
12     for(int i=1;i<=n;i++){
13         scanf("%d%d",&a[i],&l[i]);
14         mat[a[i]]=mat[a[i]-l[i]]=mat[a[i]+l[i]]=1;
15     }
16     for(it=mat.begin();it!=mat.end();it++){
17         mat[(*it).first]=++m;
18         pos[m]=(*it).first;
19     }
20     for(int i=1;i<=n;i++)id[i]=i;
21     sort(id+1,id+n+1,cmp);
22     for(int i=1;i<=n;i++){
23         int x=id[i];
24         posl[i]=mat[a[x]-l[x]];
25         posm[i]=mat[a[x]];
26         posr[i]=mat[a[x]+l[x]];
27     }
28     for(int i=1;i<=n;i++)
29         for(int j=1;j<=m;j++){
30             int x=id[i];
31             f[i][j]=f[i-1][j];
32             if (a[x]<pos[j])f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][posm[i]]+min(pos[j]-a[x],l[x]));
33             if ((a[x]-l[x]<pos[j])&&(pos[j]<=a[x]))f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][posl[i]]+(pos[j]-(a[x]-l[x])));
34             if (a[x]<pos[j]){
35                 f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][posl[i]]+l[x]);
36                 for(int k=1;k<i;k++)f[i][j]=max(f[i][j],f[k-1][posl[i]]+min(a[id[k]]+l[id[k]],pos[j])-(a[x]-l[x]));
37             }
38         }
39     printf("%d\n",f[n][m]);
40     return 0;
41 }