已知三角形ABC为锐角三角形，求 sinA + sinB·sin(C/2) 的最大值。

已知三角形ABC为锐角三角形，求 sinA + sinBsin(C/2) 的最大值。

解：Δ := sinA + sinB·sin(C/2)

= sin(B+C) + sinB·sin(C/2)

= sinB·cosC + cosB·sinC + sinB·sin(C/2)

= sinB·[cosC + sin(C/2)] + cosB·sinC

令 m := cosC + sin(C/2)，n := sinC，g := (m² + n²)^1/2，由题设知 0 ∠C < Π/2

易知 0 < m,n < g，且有 (m/g)² +(n/g)² = 1，可令 cosθ := m/g，sinθ := n/g，0 < ∠θ < Π/2，于是

Δ =  sinB·m + cosB·n = g(sinB·m/g + cosB·n/g) = g·(sinB·cosθ + cosB·sinθ) = g·sin(B+θ) ≤ g

m² + n² =  cos²C + 2·cosC·sin(C/2) + sin²(C/2)  + sin²C = 1 + 2·cosC·sin(C/2) + sin²(C/2)

令 x := sin(C/2)，则 cosC = cos²(C/2) - sin²(C/2) = 1 - 2x²，于是

f(x) := m² + n² =  1 + 2(1 - 2x²)x + x² = -4x³ + x² + 2x + 1

f'(x) = -12x² + 2x + 2 = 2(-6x² + x + 1) = 2(3x + 1)(-2x + 1)

由 x 的定义可知，0 < x < sin(Π/4) = (2^1/2)/2，易知

满足 f'(x) = 0 的解只有 x = 1/2，且 f(x) 在 x = 1/2 时取得最大值，即 f(1/2) = -4·1/8 + 1/4 + 1 + 1 = 7/4

由1/2 = sin(C/2)，知 ∠C = Π/3

所以当∠C = Π/3 时，g 取得最大值 (7/4)^1/2 =   (7^1/2)/2

此时 sinθ = n/g = (sinC)/g = [(3^1/2)/2] / [(7^1/2)/2] = (3/7)^1/2

可知 Π/6 < ∠θ < Π/4

令 ∠B + ∠θ = Π/2，可知 Π/4 < ∠B < Π/3

于是再由 ∠A + ∠B = Π - Π/3 = 2Π/3，可知

Π/3 < ∠A < 5Π/12 < Π/2

综上，当∠C = Π/3 时，存在锐角 ∠A 和 ∠B 满足 ∠A + ∠B + ∠C = Π，并使得 sinA + sinBsin(C/2) 取得最大值 (7^1/2)/2。