「CF547D」 Mike and Fish

传送门

介绍三种做法。


\(\texttt{Solution 1}\) 上下界网络流

我们将每一行、每一列看成一个点。

两种颜色的数量最多相差 \(1\),即红点的个数和蓝点个数范围都在 \([\lfloor \frac{cnt}{2}\rfloor,\lceil \frac{cnt}{2}\rceil]\) 当中。

若有一个点 \((x,y)\),则从第 \(x\) 行向第 \(y\) 列连边,容量为一。若有流量,则为红点,否则为蓝点。

最后从源点向行连边,从列向汇点连边,跑一边有源汇上下界可行流即可。


\(\texttt{Solution 2}\) 二分图染色

我们将同一行的点两两配对,将同一列的点两两配对,其形成一定是一个二分图。

考虑证明:每个点最多连出两条边:横边和竖边。而由此易证得这张图上的环一定是横竖边交替排列的,即所有的环都为偶环。

所以我们对这张二分图进行黑白染色,每一行和每一列最多有一个点为孤立点,符合题目要求。

(是真的妙啊)

贴代码

/*---Author:HenryHuang---*/
/*---Never Settle---*/
#include<bits/stdc++.h>
#define add(a,b) e[a].emplace_back(b)
using namespace std;
const int maxn=2e5+5;
int lstx[maxn],lsty[maxn];
int col[maxn];
vector<int> e[maxn];
void dfs(int u,int co){
col[u]=co;
for(auto v:e[u])
if(col[v]==-1)
dfs(v,co^1);
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
int n;cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i) col[i]=-1;
for(int i=1;i<=n;++i){
int x,y;cin>>x>>y;
if(lstx[x]){
add(lstx[x],i),add(i,lstx[x]);
lstx[x]=0;
}
else lstx[x]=i;
if(lsty[y]){
add(lsty[y],i),add(i,lsty[y]);
lsty[y]=0;
}
else lsty[y]=i;
}
for(int i=1;i<=n;++i) if(col[i]==-1) dfs(i,0);
for(int i=1;i<=n;++i) cout<<(col[i]?"r":"b");
return 0;
}

\(\texttt{Solution 3}\) 欧拉回路

将横纵坐标之间连边,问题转化为对每条边定向使得每个点的入度和出度最多相差 \(1\)。

这和 CF527E 很像,只是有一个最多相差 \(1\) 的条件。

考虑若一个点度数为偶数,则其入度和出度必然相等。

所以我们考虑如何处理一个点度数为奇数的情况。

我们新建一些虚边,将这些奇点两两配对,然后跑欧拉回路即可。

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