Loj#6053-简单的函数【Min25筛】

正题

题目链接:https://loj.ac/p/6053

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题目大意

定义一个积性函数\(f(p^c)=p\ xor\ c\)，求\(\sum_{i=1}^nf(i)\)

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解题思路

异或这个东西不太好搞，要考虑怎么求出\(g\)数组。

当\(p\)为质数时\(f(p)=p-1\)，所以我们让\(g(n)=\sum_{i=1}^n[i\in Pri](i-1)\)就好了。

然后因为\(i-1\)不是完全积性函数，所以拆成\(i\)和\(1\)分开来就好了。

然后因为\(f(2)=3\)，所以答案会少\(2\)，加回去就好了。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10,P=1e9+7;
ll n,T,cnt,tot,w[N],pri[N],sp[N],g1[N],g2[N],ind1[N],ind2[N];
bool v[N];
void init(ll n){
    for(ll i=2;i<=n;i++){
        if(!v[i]){
            pri[++cnt]=i;
            sp[cnt]=sp[cnt-1]+i;
        }
        for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){
            v[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
    }
    return;
}
ll S(ll x,ll y){
    if(pri[y]>=x)return 0;
    ll pos=(x>T)?ind2[n/x]:ind1[x];
    ll ans=((g2[pos]-g1[pos])-(sp[y]-y)+P)%P;
    if(y==0)ans+=2;
    for(ll k=y+1;k<=cnt&&pri[k]*pri[k]<=x;k++)
        for(ll e=1,p=pri[k];p<=x;p=p*pri[k],e++)
            (ans+=(pri[k]^e)*(S(x/p,k)+(e!=1))%P)%=P;
    return ans;
}
signed main()
{
    scanf("%lld",&n);
    if(n==1)return puts("1")&0;
    T=sqrt(n);init(T);
    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
        ll x=n/l;r=n/(n/l);
        w[++tot]=x;x%=P;
        g1[tot]=x-1;
        g2[tot]=x*(x+1)/2%P-1;
        if(n/l<=T)ind1[n/l]=tot;
        else ind2[n/(n/l)]=tot;
    }
    for(ll i=1;i<=cnt;i++)
        for(ll j=1;j<=tot&&pri[i]*pri[i]<=w[j];j++){
            ll k=w[j]/pri[i];k=(k>T)?ind2[n/k]:ind1[k];
            (g2[j]+=P-(g2[k]-sp[i-1])*pri[i]%P)%=P;
            (g1[j]+=P-(g1[k]-i+1)%P)%=P;
        }
    printf("%lld\n",S(n,0)+1);
    return 0;
}