YbtOJ#631-次短路径【左偏树,最短路】

正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/114/problem/1

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题目大意

给出\(n\)个点\(m\)条边的一张无向图，对于每个点\(i\)求不经过\(i\sim 1\)的最短路的第一条边的情况下\(i\)到\(1\)的最短路

数据保证这条边唯一

\(n\in[1,10^5],m\in[1,2\times 10^5],c\in[1,10^3]\)

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解题思路

因为保证的那个东西，所以图的最短路树真的是一棵树了，所以先跑出最短路树考虑在最短路树上面搞。

然后题目限制了我们不能从树上的祖先那条边过来，这样就分为了两种情况。一种是从该点的子树外面连过来的边，另一种是从子树中走上来的边。第二种很麻烦，因为子树的最短路是用该节点的最短路扩展的，所以不能直接使用。

考虑一条非树边\((x,y)\)，这条边会扩展一条\(dis_y+w\)到\(x\)的路径。（\(dis_x\)表示\(1\sim x\)的最短路）。

并且这条边可以使用到\(LCA(x,y)\)处，此时\(x\)的祖先们都不包含\(y\)在子树内，可以直接用\(y\)的子树扩展。

所以可以维护一个左偏树，每次合并两个儿子的信息，如果堆顶的边需要被删除就删除。需要写一个\(lazy\)标记来修改整棵树

时间复杂度\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
const int N=4e5+10;
struct point{
	int val,x,y;
	point(int v=0,int xx=0,int yy=0)
	{val=v;x=xx;y=yy;return;}
};
bool operator<(point x,point y)
{return x.val<y.val;}
struct Heap{
	point val[N];
	int t[N][2],lazy[N],dis[N];
	void Downdata(int x){
		if(!lazy[x])return;
		int ls=t[x][0],rs=t[x][1];
		lazy[ls]+=lazy[x];lazy[rs]+=lazy[x];
		val[ls].val+=lazy[x];val[rs].val+=lazy[x];
		lazy[x]=0;return;
	}
	int Merge(int x,int y){
		Downdata(x);Downdata(y);
		if(!x||!y)return x+y;
		if(val[y]<val[x])swap(x,y);
		int &ls=t[x][0],&rs=t[x][1];
		rs=Merge(rs,y);
		if(dis[rs]>dis[ls])swap(ls,rs);
		dis[x]=dis[rs]+1;return x;
	}
	int Del(int x){
		int &ls=t[x][0],&rs=t[x][1];val[x]=0;
		return Merge(ls,rs);
	}
}T;
struct node{
	int to,next,w;
}a[N];
int n,m,tot,cnt,num,ls[N],f[N];
int rfn[N],p[N],ans[N];
bool v[N];vector<int> G[N];
priority_queue<pair<int,int> >q;
void addl(int x,int y,int w){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;a[tot].w=w;
	return;
}
void dij(){
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	q.push(mp(0,1));f[1]=0;
	while(!q.empty()){
		int x=q.top().second;q.pop();
		if(v[x])continue;v[x]=1;
		for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
			int y=a[i].to;
			if(f[x]+a[i].w<f[y]){
				f[y]=f[x]+a[i].w;
				q.push(mp(-f[y],y));
			}
		}
	}
	return;
}
void dfs(int x){
	rfn[x]=++cnt;
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
		int y=G[x][i];dfs(y);
		T.val[p[y]].val+=f[y]-f[x];
		T.lazy[p[y]]+=f[y]-f[x];
		p[x]=T.Merge(p[x],p[y]);
	}
	for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
		int y=a[i].to;
		if(f[x]+a[i].w==f[y])continue;
		if(f[y]+a[i].w==f[x])continue;
		T.val[++num]=point(f[y]+a[i].w,x,y);
		p[x]=T.Merge(p[x],num);
	}
	while(1){
		if(!p[x]){ans[x]=-1;break;}
		point w=T.val[p[x]];
		if(rfn[w.y]>=rfn[x])
		{p[x]=T.Del(p[x]);continue;}
		ans[x]=w.val;break;
	}
	return;
}
int main()
{
	freopen("pal.in","r",stdin);
	freopen("pal.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y,w;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
		addl(x,y,w);addl(y,x,w);
	}
	dij();
	for(int x=1;x<=n;x++)
		for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
			int y=a[i].to;
			if(f[x]+a[i].w==f[y])
				G[x].push_back(y);
		}
	dfs(1);
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(!ans[i])puts("-1");
		else printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}