快速傅里叶变化有不同的应用场景,hdu4609就比较有意思。题目要求是给n个线段,随机从中选取三个,组成三角形的概率。

初始实在没发现这个怎么和FFT联系起来,后来看了下别人的题解才突然想起来:组合计数问题可以用多项式的卷积来解决。于是将给的数据进行卷积相乘,利用FFT即可求出三角形任意两条线段组合的可能数目。

然后遍历初始数据,将其作为最长边(这里一开始也没想明白,其实就是只要最长边大于短边之和,其他两个不等式也自然可以满足)。那么理论上说比它长的所有两边组合可能都可以。当然在这里要考虑三种特殊情况:(即在两边组合数目中减去这些情况)

1.这两个边有可能一个边比最长边长,一个边小于最长边

2.其中一个边就是要选的这个边

3.两个边其实都比最长边长,这种情况要除以二

PS:G++使用的是longlong类型,C++是_int64,好久没写忘记了。

longlong在代码中间乘的运算也要加上,否则还是会出错。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm> //spell!
#include <string.h>
#define MAXN 400040
#define PI acos(-1.0)
using namespace std; struct complex
{
double r,i;
complex(double real=0.0,double image=0.0)
{
r=real;
i=image;
}
//以下为三种虚数运算的定义
complex operator+(const complex o)
{
return complex(r+o.r,i+o.i);
}
complex operator-(const complex o)
{
return complex(r-o.r,i-o.i);
}
complex operator*(const complex o)
{
return complex(r*o.r-i*o.i,r*o.i+i*o.r);
}
}x1[MAXN]; void bitrev(complex *y,int l) //二进制平摊反转置换 O(logn)
{
register int i,j,k;
for(i=,j=l/;i<l-;i++)
{
if(i<j) swap(y[i],y[j]); //交换互为下标反转的元素
//i<j保证只交换一次
k=l/;
while(j>=k) //由最高位检索,遇1变0,遇0变1,跳出
{
j-=k;
k/=;
}
if(j<k) j+=k;
}
}
void fft(complex *in,int n,int flag)
{
int i,j,k;
complex u,t;
bitrev(in,n);
for(int i=;i<=n;i=i*)
{
complex wn(cos((*PI*flag)/i),sin((*PI*flag)/i));//初始化单位复根
for(j=;j<n;j=j+i)
{
complex w(,);
for(k=j;k<j+i/;k++)
{
u=in[k];
t=w*in[k+i/];
in[k]=u+t;
in[k+i/]=u-t;
w=w*wn;
}
}
}
if(flag==-)
for(int i=;i<n;i++)
in[i].r=in[i].r/n;
} int a[];
long long res[MAXN];
long long sum[MAXN];
long long num[MAXN];
int main() {
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int n,i;
scanf("%d",&n);
memset(res,,sizeof(res));
memset(sum,,sizeof(sum));
memset(num,,sizeof(num));
for(int j=;j<n;j++)
{
scanf("%d",&a[j]);
num[a[j]]++;
}
sort(a,a+n);
for(i = ;i <=a[n-];i++)
{
x1[i].r=num[i];
x1[i].i=;
}
int expandn=;
while(expandn<*(a[n-]+))expandn=expandn*; for(i = a[n-]+;i<expandn;i++)
{
x1[i].r=;
x1[i].i=;
}
fft(x1,expandn,);
for(i=;i<expandn;i++)
x1[i]=x1[i]*x1[i];
fft(x1,expandn,-);
for(i=;i<expandn;i++)
{
res[i]=(long long)(x1[i].r+0.5);
}
//去除本身
for(i=;i<n;i++)
res[a[i]+a[i]]--;
//变为组合
for(i=;i<expandn;i++)
res[i]=res[i]/;
//求出两边之和为i的所有可能
//expandn=(a[n-1]+1)*2;
sum[]=res[];
for(i=;i<expandn;i++)
sum[i]=res[i]+sum[i-];
long long ans=;
for(i=;i<n;i++)
{
ans+=sum[expandn-]-sum[a[i]];//比长度为a[i]大的所有可能
//去除一个大于a[i],一个小于a[i]
ans=ans-(long long)(n--i)*i;
//去除一个取自己
ans=ans-(n-);
//去除取两个都大
ans=ans-(long long)(n--i)*(n--i)/;
}
long long all = (long long)n*(n-)*(n-)/;
printf("%.7lf\n",(double)ans/all);
}
}

hdu 4609

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