CTSC 2017 游戏[概率dp 线段树]

小 R 和室友小 B 在寝室里玩游戏。他们一共玩了 $n$ 局游戏，每局游戏的结果要么是小 R 获胜，要么是小 B 获胜。

第 $1$ 局游戏小 R 获胜的概率是 $p_1$，小 B 获胜的概率是 $1-p_1$。除了第一局游戏之外，每一局游戏小 R 获胜的概率与上一局游戏小 R 是否获胜有关。

具体来说：

如果第 $i-1\ (1< i\le n)$ 局游戏小 R 获胜，那么第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率为 $p_i$，小 B 获胜的概率为 $1-p_i$。
如果第 $i-1\ (1< i\le n)$ 局游戏小 B 获胜，那么第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率为 $q_i$，小 B 获胜的概率为 $1-q_i$。

小 D 时常过来看小 R 和小 B 玩游戏，因此他知道某几局游戏的结果。他想知道在他已知信息的条件下，小 R 在 $n$ 局游戏中获胜总局数的期望是多少。

小 D 记性不太好，有时他会回忆起某局游戏的结果，并把它加入到已知信息中；有时他会忘记之前某局游戏结果，并把它从已知信息中删除。你的任务是：每当小 D 在已知信息中增加或删除一条信息时，根据小 D 记得的已知信息，帮助小 D 计算小 R 在 $n$ 局游戏中获胜总局数的期望是多少。

需要注意的是：如果小 D 忘了一局游戏的结果，之后又重新记起，两次记忆中的游戏结果不一定是相同的。你不需要关心小 D 的记忆是否与实际情况相符，你只需要根据他的记忆计算相应的答案。

输入格式

第一行两个正整数 $n,m$ 和一个字符串 $type$。表示小 R 和小 B 一共玩了 $n$ 局游戏，小 D 一共进行了 $m$ 次修改已知信息的操作，该数据的类型为 $type$。$type$ 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分，你可能不需要用到这个输入，其具体含义见限制与约定。

接下来 $n$ 行，第 $1$ 行包含一个实数 $p_1$，表示第一局比赛小R获胜的概率是 $p_1$。第 $i\ (1< i \le n)$ 行包含两个实数 $p_i,q_i$。表示在第 $i-1$ 局游戏小 R 获胜的情况下，第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率是 $p_i$；$q_i$ 表示在第 $i-1$ 局游戏小 B 获胜的情况下，第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率是 $q_i$。

接下来 $m$ 行，每行描述一个小 D 已知信息的变化，操作分为两类。

add i c 表示小 D 回忆起了第 $i$ 局比赛的结果，并把它加入到已知信息中。若 $c=0$ 表示第 $i$ 局比赛小 B 获胜，若 $c=1$ 表示第 $i$ 局比赛小 R 获胜。数据保证 $i,c$ 均为整数且 $1\le i \le n,0\le c \le 1$，如果这个操作不是第一个操作，保证在上一个操作结束后的已知信息中没有第 $i$ 局比赛的结果。
del i 表示小 D 忘记了第 $i$ 局比赛的结果，并把它从已知信息中删除。数据保证 $i$ 是整数且 $1\le i \le n$，保证在上一个操作结束后的已知信息中有第 $i$ 局比赛的结果。

输出格式

对于每个操作，输出一行实数，表示操作结束后，在当前已知信息的条件下，小R在 $n$ 局游戏中总共获胜的局数的期望是多少。

样例一

input

3 3 A

0.3

0.5 0.2

0.9 0.8

add 1 1

add 3 0

del 1

output

explanation

运用贝叶斯公式

第一问

$$p(x_2=1|x_1=1)=0.5,p(x_3=1|x_1=1)=0.5*0.9+0.5*0.8=0.85,E(x_1+x_2+x_3|x_1=1)=0.5+0.85+1=2.35$$

第二问

$$p(x_2=1|x_1=1,x_3=0)=\frac{p(x_3=0|x_1=1,x_2=1)p(x_2=1|x_3=0)}{p(x_3=0|x_1=1)} \approx 0.333,E(x_1+x_2+x_3|x_1=1,x_3=0) \approx 1.333$$

第三问

$$p(x_2=1|x_3=0)=\frac{p(x_3=0|x_2=1)p(x_2=1)}{p(x_3=0)}$$

其中

$$p(x_3=0|x_2=1)=0.1,p(x_2=1)=0.3*0.5+0.7*0.2=0.29,p(x_3=0)=0.29*0.1+0.71*0.2=0.171$$

所以

$$p(x_2=1|x_3=0)=0.1*0.29/0.171 \approx 0.16959$$

$$p(x_1=1|x_3=0)=\frac{p(x_3=0|x_1=1)p(x_1=1)}{p(x_3=0)}$$

其中

$$p(x_3=0|x_1=1)=0.5*0.1+0.5*0.2=0.15,p(x_1=1)=0.3,p(x_3=0)=0.171$$

所以

$$p(x_1=1|x_3=0)=0.15*0.3/0.171 \approx 0.26316$$

$$E(x_1+x_2+x_3|x_3=0) \approx 0.43275$$

样例二

见样例数据下载。

样例三

见样例数据下载。

评分标准

如果你的答案与正确答案的绝对误差在 $10^{-4}$ 以内，则被判定为正确。

如果你的所有答案均为正确，则得满分，否则得 0 分。

请注意输出格式：每行输出一个答案，答案只能为一个实数。每行的长度不得超过 50。错误输出格式会被判定为 0 分。

限制与约定

对于100%的数据，$1\le n\le 200000, 1\le m \le 200000,0 < p_i,q_i < 1$。

对于100%的数据，输入保留最多四位小数。

本题共有20个数据点，每个数据点5分,每个测试点的具体约定如下表：

测试点	$n$	$m$	数据类型
1-2	$\le 10$	$\le 20$	A
3-4	$\le 100$	$\le 100$	B
5-6	$\le 1000$	$\le 5000$	A
7-9	$\le 2000$	$\le 5000$	B
10-13	$\le 10000$	$\le 200000$	B
14-15	$\le 200000$	$\le 200000$	C
16-17			D
18-20			A

数据类型的含义：

A：无限制

B：$\forall i > 1,|p_i-q_i| > 0.999$

C：同一时刻，小 D 最多只有 1 条已知信息

D：同一时刻，小 D 最多只有 5 条已知信息

时间限制：$1\texttt{s}$

空间限制：$512\texttt{MB}$

小R教你学数学

你可能会用到以下公式

条件概率的计算方法

我们记 $p(A|B)$ 表示在已知事件 $B$ 发生时事件 $A$ 发生的概率，条件概率可以用以下公式计算：

$$p(A|B)=\frac{p(AB)}{p(B)}$$

其中$p(AB)$表示事件 $B$ 和事件 $A$ 同时发生的概率，$p(B)$ 表示事件 $B$ 发生的概率。
贝叶斯公式(Bayes)

由条件概率的计算方法，我们容易得到贝叶斯公式

$$p(A|B)=\frac{p(B|A)p(A)}{p(B)}$$
全概率公式

如果随机变量 $x$ 有 $k$ 个取值，分别为 $x_1,x_2,\ldots,x_k$ 那么

$$p(A)=\sum_{i=1}^k p(A|x=x_i)p(x=x_i)$$

温馨提示

在本题中，如果你希望获得全部的分数，你可能需要考虑由于浮点数运算引入的误差。只使用加法和乘法运算不会引入太大的误差，但请谨慎使用减法和除法。

两个大小相近的数相减可以引入非常大的相对误差。
如果一个矩阵的行列式值非常小，那么求解该矩阵的逆可以带来相当大的误差。

当然，如果你的算法在数学上是正确的，但没有考虑浮点数运算的误差问题，可能仍然可以获得一部分的分数。

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样例数据下载

【题解】

贝叶斯证明;
\[
\begin{align}
&bayes公式:\\
P(A|B)P(B) &= P(A\ \cap B) \Leftrightarrow P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \\
&P(x_i=1|x_l=a,x_r=b)(1\lt i \le r)\\
&=\frac{P(x_i=1,x_l=a,x_r=b)}{P(x_l=a,x_r=b)}\\
&=\frac{P(x_i=1,x_l=a,x_r=b)}{P(x_l=a)P(x_r=b|x_l=a)}\\
&=\frac{P(x_i=1,x_r=b|x_l=a)}{P(x_r=b|x_l=a)}\\
\end{align}
\]

【代码】

#include<map>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<iostream>

#define fi first

using std::map;

const int N=2e5+;

int n,m;double ans,p[N],q[N];char opt[];

map<int,int>S;

map<int,int>::iterator it,nxt,pre;

struct Matrix{

    double s[][];

    Matrix(){memset(s,,sizeof s);}

    Matrix operator +(const Matrix &a)const{

        Matrix c;

        for(int i=;i<;i++){

            for(int j=;j<;j++){

                c.s[i][j]=s[i][j]+a.s[i][j];

            }

        }

        return c;

    }

    Matrix operator *(const Matrix &a)const{

        Matrix c;

        for(int i=;i<;i++){

            for(int j=;j<;j++){

                for(int k=;k<;k++){

                    c.s[i][j]+=s[i][k]*a.s[k][j];

                }

            }

        }

        return c;

    }

};

struct data{Matrix mul,sum;}tr[N<<];

data operator +(const data &a,const data &b){

    data c;

    c.mul=a.mul*b.mul;

    c.sum=a.mul*b.sum+a.sum*b.mul;

    return c;

}

#define lch k<<1

#define rch k<<1|1

void build(int k,int l,int r){

    if(l==r){

        tr[k].mul.s[][]=-q[l];

        tr[k].mul.s[][]=q[l];

        tr[k].mul.s[][]=-p[l];

        tr[k].mul.s[][]=p[l];

        tr[k].sum.s[][]=q[l];

        tr[k].sum.s[][]=p[l];

        return ;

    }

    int mid=l+r>>;

    build(lch,l,mid);

    build(rch,mid+,r);

    tr[k]=tr[lch]+tr[rch];

}

data query(int k,int l,int r,int x,int y){

    if(l==x&&r==y) return tr[k];

    int mid=l+r>>;

    if(y<=mid) return query(lch,l,mid,x,y);

    else if(x>mid) return query(rch,mid+,r,x,y);

    else return  query(lch,l,mid,x,mid)+query(rch,mid+,r,mid+,y);

}

double ask(int l,int r){

    data tmp=query(,,n+,l+,r);

    return tmp.sum.s[S[l]][S[r]]/tmp.mul.s[S[l]][S[r]];

}

int main(){

    scanf("%d%d%*s%lf",&n,&m,&p[]);

    for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",p+i,q+i);

    p[]=q[]=;S[]=;S[n+]=;

    build(,,n+);

    ans=ask(,n+);

    for(int i=m,x,y;i;i--){

        scanf("%s%d",opt,&x);

        if(opt[]=='a'){

            scanf("%d",&y);S[x]=y;

            it=S.lower_bound(x);

            nxt=pre=it;pre--,nxt++;

            ans+=ask(pre->fi,it->fi);

            ans+=ask(it->fi,nxt->fi);

            ans-=ask(pre->fi,nxt->fi);

        }

        else{

            it=S.lower_bound(x);

            nxt=pre=it;pre--,nxt++;

            ans-=ask(pre->fi,it->fi);

            ans-=ask(it->fi,nxt->fi);

            ans+=ask(pre->fi,nxt->fi);

            S.erase(it);

        }

        printf("%.10lf\n",ans);

    }

    return ;

}