【CSP膜你赛】大逃亡

题目描述

魔王撒旦为了建立魔物的乐土，率领亚多拉玛雷克、艾谢尔、路西菲尔、以及马纳果达这四位恶魔大元帅进攻人类世界。然而此时手持圣剑的勇者艾米莉亚出现了。
战败的魔王逃跑时穿越到了地球，以真奥贞夫的身份过着打工族的生活。最近真奥贞夫手头有点紧，他接到一个待遇不错的任务，但是却没有时间。无奈之下，他只能找到可靠的 YxuanwKeith 来帮忙。然而王导最近忙于筹拍宣传片，抽不出时间，于是 YxuanwKeith 又找到了你来替他完成这个工作。YxuanwKeith 帮忙的工作是为一个大赛设计分队方式。

这个比赛有 N 个人参加，我们可以给这 N 个人分任意数量（不超过N）的队伍，相同队伍的人用相同数字来表示。如果有多种表示，我们认为字典序最小的表示才是有效的。
由于组队的情况实在是太多了，今年大赛组委会决定在比赛的第 i 天采用所有序列中字典序第i小的分队方式。
现在组委会会向你询问一个序列，希望你能告诉他们这个序列的分队方式会在哪一天被采用。由于答案可能会很大，所以组委会只关心对1000007取模后的结果。

输入格式

第一行，一个整数 N 表示参赛人数。
第二行，N 个整数，表示询问的分队方式的序列。

输出格式

一行，一个整数表示这种方式会在第几天被采用。答案对 1,000,007 取模。
输入样例
3
1 2 2
输出样例
4
提示
比赛各天的分队情况如下：第一天：1,1,1第二天：1,1,2第三天：1,2,1第四天：1,2,2第五天：1,2,3
对于100%的数据，N ≤10000，数据保证询问的数列是一个有效的序列。

分析

先来看一下什么是合法的序列。

因为字典序最小，所以序列的前缀最大值每次最多上升1（不然就可以将它替换成更小的编号）

然后我们来看如何计算字典序

考虑一下与原序列s有相同前缀，但在i位开始与s不同的序列的个数

设s在i位置的数为a[i]，前缀的最大值为mx

对于在位置i的数大于a[i]的序列，又因为前缀相同，所以它们字典序肯定比s大

对于在位置i的数等于a[i]的数列。。。。。。不是说了在i位开始不同的吗。。直接递归到i+1位计算贡献就好了。

对于在位置i的数小于a[i]的序列，又因为前缀相同，所以它们字典序肯定比s小，这些都可以产生贡献

而这些序列的性质是前缀最大值为mx，长度为n-i+1，第i位小于a[i]。

直接设dp式子dp[i][j]表示前缀最大值为j，剩下i位的不同方案个数

那么这些序列的贡献就是$(a[i]-1)*dp[n-i][mx]$

考虑怎么求dp式子

那么每次就有更新最大值与不更新最大值两种方案

$$dp[i][j]=j \times dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]$$

处理出$n^2$这个数组然后对原序列一位一位的去计算贡献$(a[i]-1)*dp[n-i][mx]$就好了

当然也可以直接dp需要的值，即在dp的时候就把(a[i]-1)放进去(这个无法用语言表达，具体看代码吧

Code

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn=;

const int mod=1e6+;

int n,mx,nw,f[][maxn];

int main()

{

    scanf("%d",&n);

    for(int i=,a;i<=n;nw=!nw,i++)

    {

        scanf("%d",&a);

        for(int j=i;j>=;j--)

        f[nw][j]=(f[!nw][j-]+1ll*f[!nw][j]*j+(j==mx)*(a-))%mod;

        mx=max(mx,a);

    }

    int ans=;

    for(int i=;i<=n;i++)ans=(ans+f[!nw][i])%mod;

    printf("%d\n",ans);

}