stone [期望]

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\(\mathcal{Description}\)

有 \(n\) 堆石子,依次编号为 \(1, 2,\ldots , n\),其中第 \(i\) 堆有 \(a_i\) 颗石子

你每次等概率随机选择一颗石子,并取完它所在的那一堆石子

求第 \(1\) 堆石子被取走的时间的期望

\(n\leq 10^5,a_i\leq 10^9\)

\(\mathcal{Solution}\)

这题不是很难，然而并不是考虑\(DP\)，用的比较巧妙的方法

考虑期望的线性性，设\(p_i\)表示第\(i\)堆石子在第一堆石子前

若第\(i\)堆石子在第\(1\)堆石子前被取出来，那么就会多\(1\)次取走操作

换成期望就是\(E=\sum\limits_{i=2}^np_i*1\)

现在的问题就是求\(p_i\)了

考虑第\(i\)堆石子在第\(1\)堆石子之前被取走

假设现在有\(tot\)个石子，那么取走\(i\)的概率是\(\dfrac{a_i}{tot}\)，取走\(1\)的概率是\(\dfrac{a_1}{tot}\)

无论\(tot\)的值是什么，第\(i\)堆石子比第\(1\)堆石子先被取走的概率都是\(\dfrac{a_i}{a_i+a_1}\)

于是这道题就解决了

\(\mathcal{Code}\)

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年11月07日 星期四 20时01分34秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
int n,x;
double ans;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&x);
	for (int i=2;i<=n;++i){
		int p;
		scanf("%d",&p);
		ans+=1.0*p/(x+p);
	}
	ans+=1;
	printf("%.10lf\n",ans);
	return 0;
}

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