CodeForeces 842d Vitya and Strange Lesson ——（带lazy标记的01字典树）

　　给一个序列，每次操作对这个序列中的所有数异或一个x，问每次操作完以后整个序列的mex值。

　　做法是去重后构建01字典树，异或x就是对root加一个x的lazy标志，每次pushDown时如果lazy的这一位是1，则交换左右儿子。找mex的话只要每次往左走，如果左子树是满的，则往右走，并且加上左边相应造成的贡献。具体见代码：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int N = 3e5 + ;
 typedef long long ll;

 int n, m;
 struct node
 {
     int sz, lazy;
     node* ch[];
     void init() {sz = ; lazy = ; ch[] = ch[] = NULL;}
 }nodes[N<<], *root;
 int tot;

 node* getnew()
 {
     node *p = &nodes[tot++];
     p->init();
     return p;
 }
 void insert(node *p, int dep, int x)
 {
     if(dep == -) return ;
     int m = ((x>>dep) & );
     if(p->ch[m] == NULL)
     {
         p->ch[m] = getnew();
     }
     insert(p->ch[m], dep-, x);
     int szl = p->ch[] ? p->ch[]->sz : ;
     int szr = p->ch[] ? p->ch[]->sz : ;
     p->sz = szl + szr + ;
 }
 void down(node *p, int dep)
 {
     for(int i=;i<;i++)
     {
         if(p->ch[i]) p->ch[i]->lazy ^= p->lazy;
     }
     if((p->lazy >> dep) & ) swap(p->ch[], p->ch[]);
     p->lazy = ;
 }
 void solve()
 {
     node *p = root;
     int ans = ;
     for(int i=;i>=;i--)
     {
         down(p, i);
         if(p->ch[] && p->ch[]->sz == (<<i+) - )
         {
             ans |= (<<i);
             p = p->ch[];
         }
         else
         {
             p = p->ch[];
         }
         if(!p) break;
     }
     printf("%d\n",ans);
 }

 map<int, int> mp;
 int main()
 {
     cin >> n >> m;
     root = getnew();
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int x; scanf("%d",&x);
         if(mp[x]) continue;
         insert(root, , x);
         mp[x] = ;
     }
     while(m--)
     {
         int x; scanf("%d",&x);
         root->lazy ^= x;
         solve();
     }
     return ;
 }

　　还有一个类似的题目，之前青岛场的热身赛，每次需要求的是前k小的和。具体的做法类似，求和时如果左边的sz比k小则直接加上左边的sum并且向右边递归即可。这里需要注意，到当前节点是，如果要求其子树的sum，需要先对其子树进行pushDown，因为其sum已经在其子树要进行交换儿子的时候发生变化了，因此每次pushDown维护sum时需要用log次暴力地算出现在的sum，那么就需要对每个节点维护一个have数组，来记录各位上0和1的位数。具体见代码（含暴力对拍）：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int N = 3e5 + ;
 typedef long long ll;

 int n, m;
 struct node
 {
     int sz, lazy;
     ll sum;
     node* ch[];
     int have[][];
     void init() {sz = ; lazy = ; sum = ; ch[] = ch[] = NULL; memset(have, , sizeof have);}
 }nodes[N<<], *root;
 int tot;

 node* getnew()
 {
     node *p = &nodes[tot++];
     p->init();
     return p;
 }
 void insert(node *p, int dep, int x)
 {
     if(dep == -)
     {
         for(int i=;i>=;i--)
         {
             p->have[x >> i & ][i]++;
         }
         p->sz = ; p->sum = x; return ;
     }
     int m = ((x>>dep) & );
     if(p->ch[m] == NULL)
     {
         p->ch[m] = getnew();
     }
     insert(p->ch[m], dep-, x);
     int szl = p->ch[] ? p->ch[]->sz : ;
     int szr = p->ch[] ? p->ch[]->sz : ;
     p->sz = szl + szr;
     ll suml = p->ch[] ? p->ch[]->sum : ;
     ll sumr = p->ch[] ? p->ch[]->sum : ;
     p->sum = suml + sumr;
     //
     //p->have[m][dep] ++;
     for(int i=;i>=;i--)
     {
         p->have[][i] = p->have[][i] = ;
         if(p->ch[]) p->have[][i] += p->ch[]->have[][i], p->have[][i] += p->ch[]->have[][i];
         if(p->ch[]) p->have[][i] += p->ch[]->have[][i], p->have[][i] += p->ch[]->have[][i];
     }

     /*if(x == 5 && dep == 2)
     {
         printf("%d ---- %d\n",p->have[0][2], p->have[1][2]);
     }*/
 }
 void down(node *p, int dep)
 {
     if(dep == -)
     {
         p->sum ^= p->lazy;
         p->lazy = ;
         return ;
     }
     for(int i=;i<;i++)
     {
         if(p->ch[i]) p->ch[i]->lazy ^= p->lazy;
     }
     if((p->lazy >> dep) & )
     {
         /*if(p->ch[0])
         {
             p->ch[0]->sum += (1<<dep) * p->ch[0]->sz;
         }
         if(p->ch[1])
         {
             p->ch[1]->sum -= (1<<dep) * p->ch[1]->sz;
         }*/
         swap(p->ch[], p->ch[]);
     }
     //ll suml = p->ch[0] ? p->ch[0]->sum : 0;
     //ll sumr = p->ch[1] ? p->ch[1]->sum : 0;
     //p->sum = suml + sumr;
     for(int i=;i>=;i--)
     {
         if(p->lazy >> i & )
         {
             p->sum += p->have[][i] * (<<i) - p->have[][i] * (<<i);
             swap(p->have[][i], p->have[][i]);
         }
     }
     p->lazy = ;
 }
 /*void solve()
 {
     node *p = root;
     int ans = 0;
     for(int i=20;i>=0;i--)
     {
         down(p, i);
         if(p->ch[0] && p->ch[0]->sz == (1<<i+1) - 1)
         {
             ans |= (1<<i);
             p = p->ch[1];
         }
         else
         {
             p = p->ch[0];
         }
         if(!p) break;
     }
     printf("%d\n",ans);
 }*/
 ll query(node *p, int k, int dep)
 {
     down(p, dep);
     if(p->ch[] == NULL) return query(p->ch[], k, dep-);
     //if(dep)
     {
         if(p->ch[]) down(p->ch[], dep-);
         if(p->ch[]) down(p->ch[], dep-);
     }
     int szl = p->ch[]->sz;
     //if(dep == 0 && k == 1) printf("%lld   %lld ====== %lld\n",p->sum,p->ch[0]->sum, p->ch[1]->sum);
     if(k == szl)
     {
         return p->ch[]->sum;
     }
     if(k < szl) return query(p->ch[], k, dep-);
     else
     {
         // if(dep) down(p->ch[0], dep-1);
         // if(dep == 2) printf("%lld ?????  %d \n",p->ch[0]->sum,szl);
         return p->ch[]->sum + query(p->ch[], k-szl, dep-);
     }
 }

 map<int, int> mp;
 int a[N], b[N];
 int main()
 {
     cin >> n >> m;
     root = getnew();
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int x; scanf("%d",&x);
         //if(mp[x]) continue;
         insert(root, , x);
         //mp[x] = 1;
         a[i] = x;
     }
     while(m--)
     {
         int x, k; scanf("%d%d",&x,&k);
         root->lazy ^= x;
         printf("%lld -- ",query(root,k,));
         for(int i=;i<=n;i++) {a[i]^=x; b[i] = a[i];}
         for(int i=;i<=n;i++) printf("%d# ",a[i]); puts("");
         sort(b+,b++n);
         ll ans = ;
         for(int i=;i<=k;i++) ans += b[i];
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }
 /*
 5 100
 45 69 47 52 12

 */