Luogu3214 HNOI2011 卡农 组合、DP
火题qwq
我们需要求的是满足元素个数为\(M\)、元素取值范围为\([1,2^n-1]\)、元素异或和为\(0\)的集合的数量。
首先我们可以计算元素有序的方案数(即计算满足这些条件的序列的数量),然后除以\(M!\)。
设\(dp_i\)表示大小为\(i\)的满足条件的序列个数
由"元素异或和为\(0\)"可以知道,如果确定了其中\(i-1\)个向量,第\(i\)个向量就可以知道了,选择\(i-1\)个向量的方案数是\(A_{2^n-1}^{i-1}\)
然后考虑非法情况:当前元素为\(0\)时,前\(i-1\)个向量异或和为\(0\),所以要减掉\(dp_{i-1}\);存在两个向量相同时,其他的向量的异或和就为\(0\),因为选择这个向量的方案数是\(i-1\),选择这两个向量的取值的方案数是\(2^n-1-(i-2)\),所以这里需要减掉\(dp_{i-2} \times (i-1) \times (2^n-1-(i-2))\)
那么DP方程就是\(dp_i = A_{2^n-1}^{i-1} - dp_{i-1} - dp_{i-2} \times (i-1) \times (2^n-1-(i-2))\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<cassert>
//This code is written by Itst
using namespace std;
const int MOD = 1e8 + 7;
int dp[1000003] , N , M;
int poww(long long a , int b){
int times = 1;
while(b){
if(b & 1) times = times * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= 1;
}
return times;
}
signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in","r",stdin);
//freopen("out","w",stdout);
#endif
cin >> N >> M;
int down = 1 , tms = 1 , tmp = 1 , jc = 1;
for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
down = (down << 1) % MOD;
--down; tms = tmp = down;
dp[0] = 1; dp[1] = 0;
for(int i = 2 ; i <= M ; ++i){
jc = 1ll * jc * i % MOD;
dp[i] = (2ll * MOD + tms - dp[i - 1] - 1ll * dp[i - 2] * (i - 1) % MOD * (tmp - i + 2) % MOD) % MOD;
tms = 1ll * tms * (--down) % MOD;
}
cout << 1ll * dp[M] * poww(jc , MOD - 2) % MOD;
return 0;
}
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