Luogu3214 HNOI2011 卡农 组合、DP

传送门

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火题qwq

我们需要求的是满足元素个数为\(M\)、元素取值范围为\([1,2^n-1]\)、元素异或和为\(0\)的集合的数量。

首先我们可以计算元素有序的方案数（即计算满足这些条件的序列的数量），然后除以\(M!\)。

设\(dp_i\)表示大小为\(i\)的满足条件的序列个数

由"元素异或和为\(0\)"可以知道，如果确定了其中\(i-1\)个向量，第\(i\)个向量就可以知道了，选择\(i-1\)个向量的方案数是\(A_{2^n-1}^{i-1}\)

然后考虑非法情况：当前元素为\(0\)时，前\(i-1\)个向量异或和为\(0\)，所以要减掉\(dp_{i-1}\)；存在两个向量相同时，其他的向量的异或和就为\(0\)，因为选择这个向量的方案数是\(i-1\)，选择这两个向量的取值的方案数是\(2^n-1-(i-2)\)，所以这里需要减掉\(dp_{i-2} \times (i-1) \times (2^n-1-(i-2))\)

那么DP方程就是\(dp_i = A_{2^n-1}^{i-1} - dp_{i-1} - dp_{i-2} \times (i-1) \times (2^n-1-(i-2))\)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<cassert>
//This code is written by Itst
using namespace std;

const int MOD = 1e8 + 7;
int dp[1000003] , N , M;

int poww(long long a , int b){
    int times = 1;
    while(b){
        if(b & 1) times = times * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return times;
}

signed main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in","r",stdin);
    //freopen("out","w",stdout);
    #endif
    cin >> N >> M;
    int down = 1 , tms = 1 , tmp = 1 , jc = 1;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
        down = (down << 1) % MOD;
    --down; tms = tmp = down;
    dp[0] = 1; dp[1] = 0;
    for(int i = 2 ; i <= M ; ++i){
        jc = 1ll * jc * i % MOD;
        dp[i] = (2ll * MOD + tms - dp[i - 1] - 1ll * dp[i - 2] * (i - 1) % MOD * (tmp - i + 2) % MOD) % MOD;
        tms = 1ll * tms * (--down) % MOD;
    }
    cout << 1ll * dp[M] * poww(jc , MOD - 2) % MOD;
    return 0;
}