贝尔数

 

贝尔数埃里克·坦普尔·贝尔(Eric Temple Bell)为名,是组合数学中的一组整数数列,开首是(OEIS的A000110数列):

 

Bell Number

Bn基数n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族,它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{abc}有5种不同的划分方法:

{{a}, {b}, {c}}
{{a}, {bc}}
{{b}, {ac}}
{{c}, {ab}}
{{abc}};

B0是1因为空集正好有1种划分方法。空集的每个成员都是非空集合(这是Vacuous truth,因为空集实际上没有成员),而它们的并是空集本身。所以空集是它的唯一划分。

贝尔数适合递推公式:

上述组合公式的证明:

可以这样来想,B_{n+1}是含有n+1个元素集合的划分的个数,考虑元素

假设他被单独划分到一类,那么还剩下n个元素,这种情况下划分个数为

假设他和某一个元素被划分为一类,那么还剩下n-1个元素,这种情况下划分个数为 

假设他和某两个元素被划分为一类,那么还剩下n-2个元素,这种情况下划分个数为 

依次类推,得到了上述组合公式

它们也适合“Dobinski公式”:

期望值为1的泊松分数n次矩。

它们也适合“Touchard同余”:若p是任意质数,那么

每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和

Stirling数Snk)是把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。

把任一概率分布n以首n累积量表示的多项式,其系数和正是第n个贝尔数。这种数划分的方法不像用Stirling数那个方法粗糙。

贝尔数的指数母函数

贝尔三角形[编辑]

用以下方法建构一个三角矩阵(形式类似杨辉三角形):

  • 第一行第一项是1(
  • 对于n>1,第n行第一项等同第n-1行最后一项。(
  • 对于m,n>1,第n行第m项等于它左边和左上方的两个数之和。(

结果如下:(OEIS:A011971

每行首项是贝尔数。每行之和是第二类Stirling数

这个三角形称为贝尔三角形、Aitken阵列或Peirce三角形(Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle)。

参见[编辑]

参考[编辑]

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