调用robustfit函数作稳健回归

调用robustfit函数作稳健回归

regress函数和regstats函数利用普通最小二乘法估计模型中的参数，参数的估计值受异常值的影响比较大。robustfit函数采用加权最小二乘法估计模型中的参数，受异常值的影响就比较小。robustfit函数用来作稳健的多重线性或广义线性回归分析，下面介绍robustfit函数的用法。
1.4.1．robustfit函数的用法
robustfit函数有以下几种调用方式：
b = robustfit(X,y)
b = robustfit(X,y,wfun,tune)
b = robustfit(X,y,wfun,tune,const)
[b,stats] = robustfit(…)
（1）b = robustfit(X,y)
返回多重线性回归方程中系数向量β的估计值b，这里的b为一个1p×的向量。输入参数X为自变量观测值矩阵（或设计矩阵），它是的矩阵。与regress函数不同的是，默认情况下，robustfit函数自动在X第1列元素的左边加入一列1，不需要用户自己添加。输入参数y为因变量的观测值向量，是的列向量。robustfit函数把y或X中不确定数据NaN作为缺失数据而忽略它们。np×1n×
（2）b = robustfit(X,y,wfun,tune)
用参数wfun指定加权函数，用参数tune 指定调节常数。wfun为字符串，其可能的取值如表1-3所示。
表1-3 robustfit函数支持的加权函数
加权函数（wfun）
函数表达式
默认调节常数值
'andrews' sin(||)rwIrrπ=⋅<
1.339
'bisquare'（默认值）
22(1)(||1)wrIr=−⋅<
4.685
'cauchy' 21(1)wr=+
2.385
'fair' 1(1||)wr=+
1.400
'huber' 1max(1, ||)wr=
1.345
'logistic' tanh()wr=
1.205
'ols'
普通最小二乘，无加权函数
无
'talwar'
(||1)wIr=<
2.795
'welsch'
2rwe−=
2.985
若调用时没有指定调节常数tune，则用表1-3中列出的默认调节常数值进行计算。表1-3中加权函数中的r通过下式计算residr =tunes1-h××
其中resid为上一步迭代的残差向量，tune为调节常数，h是由最小二乘拟合得到的中心化杠杆值向量，s为误差项的标准差的估计。s的计算公式为：s = MAD/0.6745，其中MAD为残差绝对值的中位数，在正态分布下，这个估计是无偏的。若X中有p列，计算MAD时，将残差绝对值向量的前p个最小值舍去。
用户可以定义自己的权重函数，函数的输入必须是残差向量，输出是权重向量。在调用robustfit函数时，把自定义权重函数的句柄（形如@myfun）作为wfun参数传递给robustfit函数，此时必须指定tune参数。
（3）b = robustfit(X,y,wfun,tune,const)
用参数const来控制模型中是否包含常数项。若const取值为 'on' 或1，则模型中包含常数项，此时自动在X第1列的左边加入一列1，若const取值为 'off' 或0，则模型中不包含常数项，此时不改变X的值。
（4）[b,stats] = robustfit(…)
返回一个结构体变量stats，它的字段包含了用于模型诊断的统计量。stats有以下字段：
• stats.ols_s — 普通最小二乘法得出的σ的估计（RMSE）；
• stats.robust_s — σ的稳健估计；
• stats.mad_s — 用残差绝对值的中位数计算σ的估计；
• stats.s — σ的最终估计，是ols_s 和robust_s的加权平均与robust_s中的最大值；
• stats.se — 系数估计的标准误差；
• stats.t — b与stats.se的比值；
• stats.p — t检验的p值；
• stats.covb — 系数向量的协方差矩阵的估计；
• stats.coeffcorr — 系数向量的相关系数矩阵的估计；
• stats.w — 稳健拟合的权重向量；
• stats.h — 最小二乘拟合的中心化杠杆值向量；
•  stats.R — 矩阵X的QR分解中的R因子