极大似然估计&最大后验概率估计

https://guangchun.wordpress.com/2011/10/13/ml-bayes-map/

http://www.mi.fu-berlin.de/wiki/pub/ABI/Genomics12/MLvsMAP.pdf

经验风险最小化：

\min \limits_{f\in \mathcal{F}} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} L(y_i,f(x_i))

结构风险最小化：

\min \limits_{f\in \mathcal{F}} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)

李航博士《统计学习方法》中第一章第九页中有两个论断

1 当模型是条件概率分布，损失函数是对数损失函数时，经验风险最小化就等价于极大似然估计。

2 当模型是条件概率分布、损失函数是对数损失函数、模型复杂度由模型的先验概率表示时，结构风险最小化就等价于最大后验概率估计

证明论断1：

极大似然估计：对于观测的随机变量D，其总体分布为

P(D;\theta)

S为抽样得到的样本，

S=(s_1,s_2,...,s_N)

样本是独立同分布得到的，因此样本的分布为

L(\theta) = \prod_{i=1}^{N} P(s_i;\theta)

当

S=(s_1,s_2,...,s_N)

确定，则上式可以看做是

\theta

的函数。

这个函数反映了在观察结果已知的情况下，

\theta

的“似然程度”，因此上式被叫做似然函数。用似然程度最大的那个

\theta_{*}

去做

\theta

的估计，这种估计方法叫做"极大似然估计"。取对数，极大平均似然函数为：

\max log L(\theta)=\max \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}log P(s_i;\theta)

上式等价于

\min -log L(\theta)=\min \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} -log P(s_i;\theta)

在统计学习中，S就是样本，

s_{i}=(x_i,y_i).x_i\mbox{为特征,}y_i{为标签}

当模型是条件概率分布时，则

P(s_i;\theta)=P(y_i|x_i;\theta)

\min -log L(\theta)=\min \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} -log P(y_i|x_i;\theta) -----（1）

当损失函数是对数损失函数(

L(Y,P(Y|X)) = -log P(Y|X)

)，则最小化经验风险的公式为

\min \limits_{f\in \mathcal{F}} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} L(y_i,f(x_i))
=\min \limits_{f\in \mathcal{F}} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} L(y_i,p(y_i|x_i;\theta))
=\min \limits_{f\in \mathcal{F}} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} -log p(y_i|x_i;\theta) -----（2）

对比(1)(2)两个公式，论断1得证。

证明论断2

极大似然估计将

\theta

看做是一个确定但未知的常量，而贝叶斯学派则认为

\theta

可以看做一个随机变量，从这个视角出发可得到条件概率

P(\theta|S)

因此利用贝叶斯公式得到

P(\theta|S)=\frac{P(S|\theta)P(\theta)}{P(S)}

最大后验概率估计是要最大化

P(\theta|S)

这个后验概率，因此

\max P(\theta|S) = \max P(S|\theta)P(\theta)

上式与极大似然估计相比，只多了个

P(\theta)

，左边和极大似然估计一样，因此对左边取对数处理求平均似然最大

\max \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} log P(s_i|\theta)+log P(\theta)

当模型是条件概率分布时，则

P(s_i;\theta)=P(y_i|x_i;\theta)

因此，

\max \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} log P(y_i|x_i;\theta)+log P(\theta)

取负号，转换为

\min \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} -log P(y_i|x_i;\theta)-log P(\theta)   -----(3)

当损失函数是对数损失函数(

L(Y,P(Y|X)) = -log P(Y|X)

)，模型是条件概率分布时,

结构风险最小化公式

\min \limits_{f\in F} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)
=\min \limits_{f\in F} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} -log P(y_i|x_i;\theta)+\lambda J(f)     -----(4)

比较公式(3)(4)，则当

\lambda J(f) = -log P(\theta)

两者等价，论断2得证。

(汉武提问，

\lambda

在(4)中没有出现，其实

\lambda

为超参，在模型中一般首先指定，如果为1/2 , 则

-1/2*2log P(\theta)

), 所以无论怎么取，都可以得到对应的使得等价。