每日一小练——高速Fibonacci数算法

上得厅堂，下得厨房，写得代码，翻得围墙，欢迎来到睿不可挡的每日一小练！

题目：高速Fibonacci数算法

内容：先说说Fibonacci数列，它的定义是数列：f1,f2....fn有例如以下规律：

尝试寻找高速的求出fn的方法

我的解法：上来没多想，打开vs2013就敲了起来，问题果然非常easy，分分钟就超神。。奥，不正确就攻克了！

事实上题目中就给出了这个算法的递归形式，所以首先我想到的是递归解法，只是由于求解高速方法在递归之前，我编写了一个非递归的算法

#include <iostream>
using namespace std;

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int f(int n);
	cout << f(7) << endl;
	getchar();
	return 0;
}

int f(int n)
{
	int temp = 0, f1 = 1, f2 = 1;
	if (n == 1 || n == 2)
		return 1;
	else
	{
		for (int i = 1; i < (n - 1); i++)
		{
			temp = f1 + f2;
			f2 = f1;
			f1 = temp;
		}
		return temp;
	}
}

然后我又编写了递归的算法

#include <iostream>
using namespace std;

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int f(int n);
	cout << f(7) << endl;
	getchar();
	return 0;
}

int f(int n)
{
	if (n == 1|| n==2)
		return 1;
	if (n > 2)
		return f(n - 1) + f(n - 2);
}

在递归的基础上，有人提出了更犀利的算法，这个我没有想到。。羞愧。。。

这个算法利用了一些技巧矩阵，通过矩阵乘法来算Fibonacci的加法，然后通过我在《数值自乘非递归解》中提到的利用区分奇偶数来利用指数二进制堆乘的方法，降低乘法的次数。

ps：

利用上面的矩阵连乘，在矩阵11位置的数就是矩阵11和21的和，而且用矩阵11和21表示Fibonacci的f(n-1)和f(n-2)，通过连乘来求fn。

#include <iostream>
using namespace std;

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int f(int n);
	cout << f(7) << endl;
	getchar();
	return 0;
}

int f(int n)
{
	void matrix_power(int a, int b, int c, int d, int n, int *aa, int *bb, int *cc, int *dd);
	int a, b, c, d;
	if (n == 1 || n == 2)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		matrix_power(1, 1, 1, 0, n - 2, &a, &b, &c, &d);
		return a + b;
	}
}

void matrix_power(int a, int b, int c, int d, int n, int *aa, int *bb, int *cc, int *dd)
{
	int xa, xb, xc, xd;
	if (n == 1)
		*aa = a, *bb = b, *cc = c, *dd = d;
	else if (n & 0x01 == 1)
	{
		matrix_power(a, b, c, d, n - 1, &xa, &xb, &xc, &xd);
		*aa = a*xa + b*xc;
		*bb = a*xb + b*xd;
		*cc = c*xa + d*xc;
		*dd = c*xb + d*xd;
	}
	else
	{
		matrix_power(a, b, c, d, n >> 1, &xa, &xb, &xc, &xd);
		*aa = xa*xa + xb*xc;
		*bb = xa*xb + xb*xd;
		*cc = xc*xa + xd*xc;
		*dd = xc*xb + xd*xd;
	}
}

三段代码的实验结果同例如以下：

欢迎大家增加每日一小练，嘿嘿！

每天练一练，日久见功夫，加油！

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參考文献：《c语言名题精选百则》