Dijkstra算法——单源最短路径问题

学习一个点到其余各个顶点的最短路径——单源最短路径

Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。

迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

算法的基本思想：

　　每次找到离源点最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。

算法基本步骤如下：

　　1.将所有顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。用一个book数组来记录哪些点　　　　　　　　　　　　　　　　在集合P中。例如对于某个顶点i，如果book[i]为1则表示这个顶点在集合P中，如果book[i]为0则表示这个顶在集合Q中。

　　2.设置源点s到自己的最短路径为0即dis[s]=0。若存在有源点能直接到达的顶点i，则把dis[i]设为e[s][i]。同时把所有其他（源点不能直接到达）顶点的最短路径设为无穷。

　　3.在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u-->v添加到尾部来扩展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。

　　4.重复第三步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

应用：求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径

e	1	2	3	4	5	6
1	0	1	12	--	--	--
2	--	0	9	3	--	--
3	--	--	0	--	5	--
4	--	--	4	0	13	15
5	--	--	--	--	0	4
6	--	--	--	--	--	--

这里用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值如上图。

还需要一个一维数组dis来存储1号顶点到其余各顶点的初始路程。

第一步：初始化dis数组

第二步：找到了离1号最近的点2号，2号有两条边2->3和2->4。dis[2]+e[2][3]<dis[3]，更新dis[3]；dis[4]>dis[2]+e[2][4]，更新dis[4]。

第三步：当前离1号最近的是4号，对4号的三条边4->3,4->5,4->6进行松弛，更新dis数组。

第四步：继续在3、5和6号中选择离1号最近的顶点，选择3号，对3号的所有出边3->5进行松弛，更新dis数组。

第五步：在剩下的5和6号中选择离1号最近的顶点，选择5号，对5号的所有出边5->6进行松弛，更新dis数组。

第六步：显然6号没有出边，所以dis数组中的所有值已经从“估计值”变成了“确定值”。

实现代码如下：

#include <stdio.h>

int main()
{
    int i, j, m, n;
    int q1, q2, q3;
    int u, v, min;
    int e[][], dis[], book[];
    int inf = ;//用inf表示我们认为的无穷值

    scanf_s("%d %d", &n, &m);//读入n，m，n表示顶点个数，m表示边的条数
    //初始化
    for (i = ; i <= n; ++i)
    {
        for (j = ; j <= n; ++j)
        {
            if (i == j)
            {
                e[i][j] = ;
            }
            else
            {
                e[i][j] = inf;
            }
        }
    }

    //读入边
    for (i = ; i <= m; ++i)
    {
        scanf_s("%d %d %d", &q1, &q2, &q3);
        e[q1][q2] = q3;//有向图
    }

    //初始化dis数组，这里是1号顶点到其余各顶点的初始路程
    for (i = ; i <= n; ++i)
    {
        dis[i] = e[][i];
    }

    //book、数组初始化
    for (i = ; i <= n; i++)
        book[i] = ;
    book[] = ;
    // Dijkstra 算法核心
    for (i = ; i < n; ++i)      // 计算n-1次
    {
        //找到离1号顶点最近的顶点
        min = inf;
        for (j = ; j <= n; ++j)
        {
            if (dis[j] < min && book[j] == )
            {
                min = dis[j];
                u = j;  //u为最近的点
            }
        }
        book[u] = ;

        //对u的所有出边进行“松弛”
        for (v = ; v <= n; ++v)
        {
            if (e[u][v] != inf && dis[v] > dis[u] + e[u][v])
            {
                dis[v] = dis[u] + e[u][v];            //这个过程就是"松弛"
            }
        }
    }

    printf("结果为：\n");
    //输出最终的结果
    for (i = ; i <= n; ++i)
    {
        printf(" 1号顶点到%d号顶点的最短距离为：%d\n",i, dis[i]);
    }
    printf("\n");

    getchar();
    getchar();
    return ;
}

调试结果如下图：