模拟15 题解（waiting）

T1

60%算法

定义f[i][j]表示枚举到i位置，已经使用过了j个队，

$f[i][j]+=f[i-1][t] ( t \in [max(0,j-k),j])$滚动一下

这是个O(n^3)的，考虑如何优化，发现可以使用前缀和，避免枚举t，$O(n^2)$

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define R register
 #define ll long long
 using namespace std;
 inline int read()
 {
     int f=,x=;char ch=getchar();
     while(ch>''||ch<''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch<=''&&ch>=''){x=(x<<)+(x<<)+(ch^);ch=getchar();}
     return f*x;
 }
 const int mod=;
 const int maxn=;
 int n,m,k;
 ll f[][maxn],g[][maxn];
 int main()
 {
     //freopen("data1","r",stdin);
     //freopen("1.out","w",stdout);
     n=read(),m=read(),k=read();
     m-=n;k--;
     f[][]=g[][]=;
     for(R int j=;j<=k;++j)
     {
         f[][j]=;
         g[][j]=(g[][j-]+f[][j])%mod;
     }
     for(int j=k+;j<=m;j++)
         g[][j]=g[][j-]%mod;
     R int cnt=;
     for(R int i=;i<=n;++i)
     {
         cnt^=;
         for(R int j=;j<=m;++j)
         {
             R int l=max(,j-k),r=j;
             R ll tot=;
             if(l==)tot=g[cnt^][r];
             else tot=(g[cnt^][r]-g[cnt^][l-]+mod)%mod;
             f[cnt][j]=tot%mod;
             g[cnt][j]=f[cnt][j]%mod;
             if(j)  (g[cnt][j]+=g[cnt][j-])%=mod;
         }
     }
     printf("%lld\n",f[cnt][m]%mod);
 }

100%算法

问题转化成：m个物品，放到n个抽屉里，每个至少放一个，最多放k个

若任何的限制: C(m+n-1,n-1)表示一共有m个物品，分成n组就要用n-1个挡板，把挡板也看成空位，总共m+n-1个空位，选出来n-1个

若考虑至少放一个：C(m-n+n-1,n-1)先用n个物品给每个抽屉放一个，剩了m-n个物品，再加上n-1个空，剩下的同上

再考虑k的限制：C(n,i)*C(m-n-i*k+n-1,n-1)表示至少有i个的数量已经超过k(>=k+1)所以先给n个抽屉放一个之后，再给n个放上k个，使之成为k+1个

就是m-n-i*k，再加上n-1个空

数组开2e7就行，显然n>m直接return0

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define R register
 #define ll long long
 using namespace std;
 inline ll read()
 {
     ll f=,x=;char ch=getchar();
     while(ch>''||ch<''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch<=''&&ch>=''){x=(x<<)+(x<<)+(ch^);ch=getchar();}
     return f*x;
 }
 const ll mod=;
 const ll maxn=;
 ll fac[maxn],inv[maxn],facinv[maxn];
 ll n,m,k;
 void init()
 {
     fac[]=;
     inv[]=inv[]=facinv[]=facinv[]=;
     for(ll i=;i<=m+n;i++)
     {
         fac[i]=fac[i-]*i*1ll%mod;
         inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
         facinv[i]=facinv[i-]*inv[i]%mod;
     }
 }
 ll C(ll n,ll m)
 {
     if(n<m)    return ;
     return 1ll*fac[n]*facinv[n-m]%mod*facinv[m]%mod;
 }
 int main()
 {
     n=read(),m=read(),k=read();
     if(n>m||n*k<m){puts("");return ;}
     init();
     ll ans=C(m-,n-)%mod;
     for(ll i=;i<=n;i++)
     {
         if(m-n<i*k)break;
         ll f=(i&)?-:;
         ans=(ans+1ll*f*C(m-i*k-,n-)%mod*C(n,i)%mod+mod)%mod;
     }
     printf("%lld\n",ans%mod);
 }

T2

对于无环的情况，最优解就是，图中的最长链的长度，，，为什么？

注意审题：只是炸城市，道路不炸，故某一城市毁了，其他城市的联通性不变，所以最长链上最少要炸的次数就是链长，而其他的路径，当然可以在炸最长链上的每个节点的同时也一起炸，有环的话，tarjan所点成scc，然后拓扑排序，把入度为0的节点放入队列中，枚举其子节点，子节点的答案为，父节点答案加上子节点的scc大小，并且这个点可能使用多次，所以要每次取最大值

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<queue>
 using namespace std;
 inline int read()
 {
     int f=,x=;char ch=getchar();
     while(ch>''||ch<''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch<=''&&ch>=''){x=(x<<)+(x<<)+(ch^);ch=getchar();}
     return f*x;
 }
 const int maxn=;
 int n,m;
 struct node{
     int v,nxt;
 }e[*maxn];int h[maxn],nu;
 void add(int x,int y)
 {
     e[++nu].v=y;
     e[nu].nxt=h[x];
     h[x]=nu;
 }
 struct nodc{
     int v,nxt;
 }ec[maxn*];int hc[maxn],nuc;
 void add_c(int x,int y)
 {
     ec[++nuc].v=y;
     ec[nuc].nxt=hc[x];
     hc[x]=nuc;
 }
 int dfn[maxn],low[maxn],num,top,cnt;
 int sta[maxn],ins[maxn],bl[maxn];
 vector<int>scc[maxn];
 void tarjan(int x)
 {
     dfn[x]=low[x]=++num;
     sta[++top]=x,ins[x]=;
     for(int i=h[x];i;i=e[i].nxt)
     {
         int y=e[i].v;
         if(!dfn[y])
         {
             tarjan(y);
             low[x]=min(low[x],low[y]);

         }
         else if(ins[y])
             low[x]=min(low[x],dfn[y]);
     }
     if(dfn[x]==low[x]){
         int y;cnt++;
         do{
             y=sta[top--],ins[y]=;
             scc[cnt].push_back(y);bl[y]=cnt;
         }while(y!=x);
     }
 }
 int ind[maxn],ans[maxn];
 void topo()
 {
     queue<int>q;
     for(int i=;i<=cnt;i++)
         if(!ind[i])
             q.push(i),ans[i]=scc[i].size();
     while(q.size())
     {//cout<<" ^^^";
         int x=q.front();q.pop();
         for(int i=hc[x];i;i=ec[i].nxt)
         {
             int y=ec[i].v;ind[y]--;
             if(!ind[y])q.push(y);
             int w=scc[y].size();
             if(ans[y]<ans[x]+w)ans[y]=ans[x]+w;
         }
     }
 }
 int main()
 {
     //freopen("data","r",stdin);
     n=read(),m=read();
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int x=read(),y=read();
         add(x,y);
     }
 //    cout<<"^^^";
     for(int i=;i<=n;i++)
         if(!dfn[i])
             tarjan(i);
     for(int x=;x<=n;x++)
     {
         for(int i=h[x];i;i=e[i].nxt)
         {
             int y=e[i].v;
             if(bl[x]!=bl[y])
                 add_c(bl[x],bl[y]),ind[bl[y]]++;
         }
     }
     topo();
     int an=;
     for(int i=;i<=n;i++)
         an=max(ans[i],an);
     printf("%d\n",an);
 }