@atcoder - AGC038E@ Gachapon

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• @solution - 1@
• @accepted code - 1@
• @solution - 2@
• @accepted code - 2@
• @details@

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@description@

一个随机数发生器会生成 N 种数。

第 i 种数有参数 Ai，记 SA = ∑Ai，随机数发生器会有 Ai/SA 的概率生成 i。

每个时刻都会生成一个数，直到某时刻对于所有的 i，第 i 种数被生成的次数 >= Bi 停止。

求停止的期望时刻。

Constraints

1 <= Ai,Bi,N,∑Ai, ∑Bi <= 400。

Input

输入形式如下：

N

A0 B0

A1 B1

⋮

AN−1 BN−1

Output

输出期望时刻 mod 998244353。

Sample Input 1

2

1 1

1 1

Sample Output 1

3

@solution - 1@

先对问题进行初步的转化：

假如在第 t 时刻停止，贡献为 t。

我们可以将 t 的贡献看成第 0 时刻没有停止贡献 1，第 1 时刻没有停止贡献 1，…，第 t-1 时刻没有停止贡献 1，总共贡献 t。

记 p(i) 表示第 i 时刻依然没有停止的概率，则有停止的期望时刻为 \(\sum_{i=0}p(i)\)。

考虑怎么求 p(i)。

假如给定一个生成的序列 x1, x2, …, xi 表示第 j 时刻生成 xj，则得到该序列的概率应为 A[x1]/SA*A[x2]/SA*…*A[xi]/SA。

一种思路是对于所有长度为 i 的未停止序列计算概率之和，但不好做（但可以做）。

我们逆向思维，用 1 – 已停止序列的概率之和，从而得到 p(i)。

记 d[k] 表示 k 已经出现了 d[k] 次。已停止序列即所有的 1 <= k <= n 都满足 d[k] >= B[k]。

记 q[i] 表示已停止序列对应的概率，则有：

\[q[i] = \sum_{d[j] \ge B[j]}^{(\sum_{i=1}^{n}d[j])=i}\frac{i!}{\prod_{j=1}^{n}(d[j]!)}*\prod_{j=1}^{n}(\frac{A[j]}{SA})^{d[j]}
\]

注意到这个式子里面含有卷积，而且还以阶乘为分母。我们考虑将其改写成指数型生成函数的形式。

记 Q(x) 为 q 的指数型生成函数，则有：

\[Q(x) = \prod_{i=1}^{n}(\sum_{j=B[i]}\frac{(\frac{A[j]}{SA}x)^j}{j!})\\
=\prod_{i=1}^{n}(e^{\frac{A[j]}{SA}x}-\sum_{j=0}^{B[i]-1}\frac{(\frac{A[j]}{SA}x)^j}{j!})\]

设 P(x) 表示 p 的指数型生成函数，得到：

\[P(x) = e^x - Q(x)\\
=e^x - \prod_{i=1}^{n}(e^{\frac{A[j]}{SA}x}-\sum_{j=0}^{B[i]-1}\frac{(\frac{A[j]}{SA}x)^j}{j!})\]

这玩意儿可以暴力 O((∑B)^2*∑A) 展开。

展开后每一项长成 \(c_{i, j}e^{\frac{i}{SA}x}x^{j}\) 的形式，其中 i, j 满足 0 <= i <= ∑A, 0 <= j <= ∑B。

我们枚举 i, j，然后算 \(c_{i, j}e^{\frac{i}{SA}x}x^{j}\) 对答案的贡献。

记 t = i/SA。现暂且不考虑 \(c_{i, j}\)，最后再乘。将 \(e^{tx}x^{j}\) 展开得到：

\[e^{tx}x^j=\sum_{i=0}\frac{t^ix^{i+j}}{i!}
\]

因为 \(x^{i+j}\) 对应的系数为 p[i+j]/(i+j)!，所以反过来求 p[i+j] 时需要乘 (i+j)!。因此贡献为：

\[S(j) = \sum_{i=0}t^i(i+j)^{\underline{j}}
\]

怎么求 S(j) 呢？利用下降幂的性质 \((i+1)^{\underline{j}} - i^{\underline{j}} = j*i^{\underline{j-1}}\)，以及推导等比数列求和的过程，得到：

\[S(j) = \sum_{i=0}t^i(i+j)^{\underline{j}}\\
t*S(j) = \sum_{i=1}t^i(i+j-1)^{\underline{j}}\\
(1-t)*S(j) = j! + j*\sum_{i=1}t^i(i+j-1)^{\underline{j-1}} = j*S(j-1)
\]

因此得到 \(S(j) = \frac{j}{1-t}S(j-1)\)。

又因 j = 0 时就是等比数列求和，即 \(S(0) = \frac{1}{1-t}\)，所以 \(S(j) = (\frac{1}{1-t})^{j+1}*j!\)。

总时间复杂度 O((∑B)^2*∑A)。

@accepted code - 1@

#include<cstdio>
const int MAXN = 400;
const int MOD = 998244353;
int inv[MAXN + 5];
struct mint{
	int x;
	mint(int _x=0) : x(_x) {}
	friend mint operator + (const mint &a, const mint &b) {return a.x + b.x >= MOD ? a.x + b.x - MOD : a.x + b.x;}
	friend mint operator - (const mint &a, const mint &b) {return a.x - b.x < 0 ? a.x - b.x + MOD : a.x - b.x;}
	friend mint operator * (const mint &a, const mint &b) {return 1LL * a.x * b.x % MOD;}
	friend mint operator / (const mint &a, const int &b) {return a * inv[b];}
};
mint pow_mod(mint b, int p) {
	mint ret = 1;
	while( p ) {
		if( p & 1 ) ret = ret*b;
		b = b*b;
		p >>= 1;
	}
	return ret;
}
void init() {
	inv[1] = 1;
	for(int i=2;i<=MAXN;i++)
		inv[i] = MOD - 1LL*inv[MOD%i]*(MOD/i)%MOD;
}
mint coef[MAXN + 5][MAXN + 5];
int A[MAXN + 5], B[MAXN + 5], N, SA, SB;
void read() {
	scanf("%d", &N);
	for(int i=0;i<N;i++)
		scanf("%d%d", &A[i], &B[i]), SA += A[i], SB += B[i];
}
mint tmp[MAXN + 5][MAXN + 5];
void get() {
	coef[0][0] = 1;
	for(int i=0;i<N;i++) {
		for(int j=0;j<=SA;j++)
			for(int k=0;k<=SB;k++)
				tmp[j][k] = coef[j][k], coef[j][k] = 0;
		mint p = mint(A[i]) / SA, f = MOD - 1;
		for(int l=0;l<B[i];l++,f=f/l*p)
			for(int j=0;j<=SA;j++)
				for(int k=l;k<=SB;k++)
					coef[j][k] = coef[j][k] + f*tmp[j][k-l];
		for(int j=A[i];j<=SA;j++)
			for(int k=0;k<=SB;k++)
				coef[j][k] = coef[j][k] + tmp[j-A[i]][k];
	}
	for(int i=0;i<=SA;i++)
		for(int j=0;j<=SB;j++)
			coef[i][j] = 0 - coef[i][j];
	coef[SA][0] = coef[SA][0] + 1;
}
/*
let t = e^(x/S)
t^S - (t^Ai - (x*Ai/S)^j/j!)
*/
int solve() {
	mint ret = 0, f = 1;
	for(int j=0;j<=SB;j++,f=f*j)
		for(int i=0;i<=SA;i++) {
			mint p = mint(i) / SA;
			p = pow_mod(1 - p, MOD - 2 - j);
			ret = ret + coef[i][j]*p*f;
		}
	return ret.x;
}
int main() {
	init(), read(), get();
	printf("%d\n", solve());
}

@solution - 2@

这道题会很容易令人想起 uoj - 449 那道题。

我们尝试使用 min-max 容斥能否解决。

对于某一集合 S = {x1, x2, ..., xm}，我们想要求它最早达到 Bi 的限制的期望时刻。

还是转化一下问题，求第 t 时刻没有任何元素达到 Bi 的概率 p(t)，将 p(t) 求和即是期望。

因此，这个集合的贡献如下所示：

\[(-1)^{m+1}*\frac{SA}{\sum A[xi]}*\sum_{0\le di < B[xi]}\frac{(\sum di)!}{\prod(di!)}*\prod(\frac{A[xi]}{\sum A[xi]})^{di}
\]

前面的 \((-1)^{m+1}\) 为容斥系数，\(\frac{SA}{\sum A[xi]}\) 为在集合内抽中一个数的期望。

显然我们不能枚举每个集合然后算。考虑往集合内加入一个元素 y，贡献会怎么变：

\[(-1)^{m+2}*\frac{SA}{A[y] + \sum A[xi]}*\sum_{0\le di < B[xi]}\sum_{0\le dy < B[y]}\frac{(dy + \sum di)!}{dy!*\prod(di!)}*\prod(\frac{A[xi]}{A[y] + \sum A[xi]})^{di}*(\frac{A[y]}{A[y] + \sum A[xi]})^{dy}
\]

通过观察式子，假如我们限制以前的集合中 \(\sum A[xi] = p\)，\(\sum di = q\)；并在加入 y 的时候枚举 dy，则贡献是不受其他条件影响的。

记 f[i][p][q] 表示已经考虑了 n 个数中的前 i 个数，当前集合 \(\sum A[xi] = p, \sum di = q\)，所有与 p, q 无关的值的乘积之和。

与 p, q 无关的值实际上就是 \((-1)*\frac{A[xi]^{di}}{di!}\)，转移时乘一下这个即可。

最后再把 f[n][p][q] 拿出来算贡献即可。

总共转移不超过 O(∑Bi) 次，时间复杂度为 O((∑Bi)^2*Ai)。

@accepted code - 2@

#include<cstdio>
const int MOD = 998244353;
const int MAXN = 400;
int inv[MAXN + 5];
void init() {
	inv[1] = 1;
	for(int i=2;i<=MAXN;i++)
		inv[i] = MOD - 1LL*inv[MOD%i]*(MOD/i)%MOD;
}
struct modint{
	int x;
	modint(int _x=0):x(_x) {}
	friend modint operator + (modint x, modint y) {return (x.x + y.x) >= MOD ? x.x + y.x - MOD : x.x + y.x;}
	friend modint operator - (modint x, modint y) {return (x.x - y.x) < 0 ? x.x - y.x + MOD : x.x - y.x;}
	friend modint operator * (modint x, modint y) {return 1LL*x.x*y.x%MOD;}
	friend modint operator / (modint x, int k) {return x*inv[k];}
};
modint pow_mod(modint b, int p) {
	modint ret = 1;
	while( p ) {
		if( p & 1 ) ret = ret*b;
		b = b*b;
		p >>= 1;
	}
	return ret;
}
modint f[2][MAXN + 5][MAXN + 5];
int A[MAXN + 5], B[MAXN + 5], SA, SB;
int main() {
	init();
	int n; scanf("%d", &n);
	for(int i=0;i<n;i++)
		scanf("%d%d", &A[i], &B[i]), SA += A[i], SB += B[i];
	f[0][0][0] = MOD - 1;
	for(int i=0;i<n;i++) {
		for(int j=0;j<=SA;j++)
			for(int k=0;k<=SB;k++)
				f[1][j][k] = f[0][j][k];
		modint p = 1;
		for(int l=0;l<B[i];l++,p=p*A[i]/l)
			for(int j=A[i];j<=SA;j++)
				for(int k=l;k<=SB;k++)
					f[0][j][k] = f[0][j][k] - f[1][j-A[i]][k-l]*p;
	}
	modint ans = 0;
	for(int j=1;j<=SA;j++) {
		modint p = 1, q = modint(SA)/j;
		for(int k=0;k<=SB;k++,p=p*k/j)
			ans = ans + f[0][j][k]*p*q;
	}
	printf("%d\n", ans.x);
}

@details@

主要是式子的推导，其实代码实现本身没有太大难度。

这个题涉及了好多组合数学以及期望概率的套路。