Codeforces 1136E Nastya Hasn't Written a Legend (线段树教做人系列)

题意：有一个数组a和一个数组k，数组a一直保持一个性质：a[i + 1] >= a[i] + k[i]。有两种操作：1，给某个元素加上x，但是加上之后要保持数组a的性质。比如a[i]加上x之后，a[i + 1]<a[i] + k[i],那么a[i + 1]就变成a[i] + k[i]，否则不变。同理，若a[i + 2]小于了现在的a[i + 1] + k[i + 1]，那么a[i + 2]也变成a[i + 1] + k[i + 1]，一直保持这个性质。第二章操作，询问数组a的区间[l, r]的区间和。

思路：容易发现，假设更改了x位置之后，恰好到位置y不需要更改元素，那么及其之后的位置肯定就不用更改了。所以，在查找这个位置的时候，我们可以二分查找。找到之后，对区间[x, y]进行操作。我们可以发现，区间[x, y]的数有规律。假设x位置的数是a[x]，那么a[x + 1]是a[x] + k[x], a[x +  2]是a[x] + k[x + 1] + k[x + 2],以此类推。这个区间的和可以分为2部分：[y - x + 1]个a[x]，和关于k的部分。可以发现，k[x]出现了(r - l + 1)次，k[x + 1]出现了(r - l)次，以此类推。那么怎么O（1）获得这个东西呢？我们先预处理k数组的前缀和（假设前缀和数组是b），那么我们再求b的前缀和（假设是数组c），那么c[i]就是出现了i次k[1],i - 1次k[2]，以此类推。那么区间[x, y]中关于k的和就可以得出了：c[y] - c[x - 1] - [y - x + 1] * b[x]。前面c[y] - c[x - 1]可以O(1)算出，而后面的部分比较麻烦。怎么维护后面[y - x + 1] * b[x]这个部分呢？我们发现a[x]正好出现[y - x + 1]次，这样我们可以把a[x] - b[x]用一个懒标记维护，下放标记的时候区间的和为c[y] - c[x - 1] + (r - l + 1) * val (val是a[x] - b[x])。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ls(x) (x << 1)
#define rs(x) ((x << 1) | 1)
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn = 100010;
const LL INF = 1e18;
LL a[maxn], b[maxn], c[maxn];
int n, m, now;
struct SegementTree{
	LL sum, tot;
	int l, r;
};
SegementTree tr[maxn * 4];

LL cal(int l, int r) {
	return (c[r] - c[l]) - (r - l) * (b[l]);
}
void pushup(int x) {
	tr[x].sum = tr[ls(x)].sum + tr[rs(x)].sum;
}

void maintain(int x,LL tot) {
	if(tot == -INF) return;
	int l = tr[x].l, r = tr[x].r;
	tr[x].sum = (r - l + 1) * tot + (c[r] - c[l - 1]);
	tr[x].tot = tot;
}

void pushdown(int x) {
	maintain(ls(x), tr[x].tot);
	maintain(rs(x), tr[x].tot);
	tr[x].tot = -INF;
}

void build(int x, int l, int r) {
	tr[x].l = l, tr[x].r = r;
	tr[x].tot = -INF;
	if(l == r) {
		tr[x].sum = a[l];
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(ls(x), l, mid);
	build(rs(x), mid + 1, r);
	pushup(x);
}

LL query(int x, int l, int r, int ql, int qr) {
	if(l >= ql && r <= qr) {
		return tr[x].sum;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	LL ans = 0;
	pushdown(x);
	if(ql <= mid) ans += query(ls(x), l, mid, ql, qr);
	if(qr > mid) ans += query(rs(x), mid + 1, r, ql, qr);
	return ans;
}

void update(int x, int l, int r, int ql, int qr, LL val) {
	if(l >= ql && r <= qr) {
		maintain(x, val);
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	pushdown(x);
	if(mid >= ql) update(ls(x), l, mid, ql, qr, val);
	if(mid < qr) update(rs(x), mid + 1, r, ql, qr, val);
	pushup(x);
}

int main() {
	int x, y;
	char s[5];
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld", &a[i]);
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		scanf("%lld", &b[i]);
		b[i] += b[i - 1];
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		c[i] = c[i - 1] + b[i];
	build(1, 1, n);
	scanf("%d", &m);
	while(m--) {
		scanf("%s%d%d", s + 1, &x, &y);
		if(s[1] == '+') {
			int l = x, r = n;
			LL tmp = query(1, 1, n, x, x);
			while(l < r) {
				int mid = (l + r + 1) >> 1;
				LL tmp1 = query(1 , 1, n, mid, mid);
				if(tmp + y + b[mid] - b[x] > tmp1)
					l = mid;
				else r = mid - 1;
			}
			now = x;
			update(1, 1, n, x, l, tmp + y - b[x]);
		} else {
			printf("%lld\n", query(1, 1, n, x, y));
		}
	}
}