nowcoder 202H-卡牌游戏

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题目描述

小贝喜欢玩卡牌游戏。某个游戏体系中共有N种卡牌，其中M种是稀有的。小贝每次和电脑对决获胜之后都会有一个抽卡机会，这时系统会随机从N种卡中选择一张给小贝。普通卡可能多次出现，而稀有卡牌不会被重复抽到。小贝希望收集到K种稀有卡牌，她想知道期望需要多少次获胜才能实现这个目标。

输入描述:

数据有多组，第一行一个整数T表示数据组数。
每组数据一行，三个整数N,M,K.1 ≤ T ≤ 100, 1 ≤ N ≤ 10$$$^5$$$,1 ≤ M ≤ N,1 ≤ K ≤ M

输出描述:

对于每组数据，输出形如"Case #x: y"，其中 x 为这组数据的编号（从1开始），y 为这组数据的答案。答案的绝对误差或相对误差在10$$$^{-6}$$$以内都认为是正确的。

输入

2
5 2 1
40 9 5

输出

Case #1: 2.5
Case #2: 28.1146825397

题意

一共n个物品，其中n-m个物品抽到放回，m个物品抽到不放回。抽到m个物品中的k个，求需要抽多少次的期望。

分析

如果对这个题目没有一点想法，那么先来看一下《线性代数与概率统计》里面经典的投篮数学期望问题吧。
篮球选手连续定点投篮，直到命中为止。假设他每次命中的概率为p，且各次投篮是相互独立的。用X表示首次命中所需投篮次数，求X的数学期望。 那么X服从下面的几何分布
$$$$$$
\begin{align}
& P(X=k)=(1-p)^{k-1}p \\
& E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k(1-p)^kp=p\sum_{k=1}^{\infty}k(1-p)^k=p\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p} \\
\end{align}
$$$$$$
那么对于这道题而言，相当于总共要投中k个球。先求第一次抽到稀有卡的次数期望，和上面的过程是一样的，抽中稀有卡的概率是$$$p=\frac{m}{n}$$$，所以期望是$$$EX=\frac{n}{m}$$$；接下来再求第二次抽到稀有卡的次数期望，其实还是一次“投球实验”，只不过概率变为$$$p=\frac{m-1}{n-1}$$$，而期望也相应的变为$$$EX=\frac{n-1}{m-1}$$$。所以1~k次的次数期望，用同样的方法就可以求出来。

总结

对不起我的线性代数老师

代码

#include<stdio.h>
int main(){
    int T;
    int n,m,k;
    scanf("%d",&T);
    double ans=;
    for(int kase=;kase<=T;++kase){
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        printf("Case #%d: ",kase);
        ans=0.0;
        for(int i=;i<=k-;i++)
            ans+=1.0*(n-i)/(m-i);
        printf("%.7f\n",ans);
    }
}