• 题解:

    • 令$a(x)$为破坏死光的$EFG$,$f(x)$为方案的$EGF$:$f(x) = x + \int \  \frac{1}{2} f^2(x) a(x) \  dt$;
    • 注意到$f(0)=0$,所以考虑如何解:$f'(x) =  \frac{1}{2} a(x) f(x)^2 + 1$
    • 设$g(f) = 1 + \frac{1}{2}af^2$,即求解$f' = g(f)$;
    • 主要思想是牛顿迭代,假设已经求得$f  \equiv f_{0}   \pmod {x^{n}} $:
    • 泰勒展开得:$f' \equiv g(f_{0}) + g'(f_{0})(f - f_{0}) \pmod {x^{2n}} $
    • $f' - g'(f_{0})f \equiv g(f_{0}) - g'(f_{0})f_{0} $
    • 进一步令:$r \equiv e ^ {\int \  - g'(f_{0}) \ dt}$,(注意有$r' = -g'(f_{0}) r$)
    • 两边同时乘以$r$ 得到:
    • $f'r - fr' \equiv  (g(f_{0}) - g'(f_{0})f_{0}) r$
    • $(fr)' \equiv (g(f_{0}) - g'(f_{0})f_{0}) r$
    • $ f \equiv \frac{  \int \  (1 - \frac{1}{2}af_{0}^{2})r \ dt }{r} \pmod {x^{2n}}$
    • 就可以求了;
  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. #define mod 998244353
  3. #define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
  4. #define Don(i,l,r) for(int i=l;i>=r;--i)
  5. const int N=<<;
  6. using namespace std;
  7. int n,a[N],fac[N],ans[N];
  8. char s[N],ps[],*pp=ps;
  9. int pw(int x,int y){
  10. if(y<)y+=mod-;
  11. int re=;
  12. for(;y;y>>=,x=1ll*x*x%mod)if(y&)re=1ll*re*x%mod;
  13. return re;
  14. }
  15. void push(char x){
  16. if(pp==ps+)fwrite(ps,,,stdout),pp=ps;
  17. *pp++=x;
  18. }
  19. void write(int x){
  20. static int top,sta[];
  21. if(!x){push(''),push('\n');return;}
  22. while(x)sta[++top]=x%,x/=;
  23. while(top)push(sta[top--]^'');
  24. push('\n');
  25. }
  26. void flush(){fwrite(ps,,pp-ps,stdout);}
  27. namespace poly{
  28. int g=,iv[N],rev[N],L;
  29. void init(int l){for(int i=;i<=l;++i)iv[i]=pw(i,mod-);}
  30. void cls(int*A,int l,int r){for(int i=l;i<r;++i)A[i]=;}
  31. void cpy(int*A,int*B,int l){for(int i=;i<l;++i)A[i]=B[i];}
  32. void der(int*A,int l){Run(i,,l-)A[i]=1ll*(i+)*A[i+]%mod;A[l-]=;}
  33. void dif(int*A,int l){Don(i,l-,)A[i]=1ll*iv[i]*A[i-]%mod;A[]=;}
  34. void ntt(int*A,int l,int f){
  35. for(L=;(<<L)<l;++L);
  36. for(int i=;i<l;++i){
  37. rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(L-));
  38. if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);
  39. }
  40. for(int i=;i<l;i<<=){
  41. int wn=pw(g,f*(mod-)/(i<<));
  42. for(int j=;j<l;j+=i<<){
  43. int w=;
  44. for(int k=;k<i;++k,w=1ll*w*wn%mod){
  45. int x=A[j+k],y=1ll*w*A[j+k+i]%mod;
  46. A[j+k]=(x+y)%mod,A[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
  47. }
  48. }
  49. }
  50. if(!~f){for(int i=;i<l;++i)A[i]=1ll*A[i]*iv[l]%mod;}
  51. }
  52. void inv(int*A,int*B,int l){
  53. static int t[N];
  54. if(l==){B[]=pw(A[],mod-);return;}
  55. int len=l<<;
  56. inv(A,B,l>>);cls(B,l,len);
  57. cpy(t,A,l);cls(t,l,len);
  58. ntt(t,len,);ntt(B,len,);
  59. for(int i=;i<len;++i)B[i]=1ll*B[i]*(-1ll*t[i]*B[i]%mod+mod)%mod;
  60. ntt(B,len,-);cls(B,l,len);
  61. }
  62. void ln(int*A,int*B,int l){
  63. static int t[N];
  64. int len=l<<;
  65. inv(A,B,l);
  66. cpy(t,A,l);cls(t,l,len);
  67. der(t,l);
  68. ntt(B,len,);ntt(t,len,);
  69. for(int i=;i<len;++i)B[i]=1ll*B[i]*t[i]%mod;
  70. ntt(B,len,-);cls(B,l,len);
  71. dif(B,l);
  72. }
  73. void exp(int*A,int*B,int l){
  74. static int t[N];
  75. if(l==){B[]=;return;}
  76. int len=l<<;
  77. exp(A,B,l>>);cls(B,l,len);
  78. ln(B,t,l);
  79. for(int i=;i<l;++i)t[i]=(A[i]-t[i]+mod)%mod;
  80. t[]++;
  81. ntt(B,len,);ntt(t,len,);
  82. for(int i=;i<len;++i)B[i]=1ll*B[i]*t[i]%mod;
  83. ntt(B,len,-);cls(B,l,len);
  84. }
  85. void solve(int*A,int l){
  86. static int t[N],r[N];
  87. if(l==){A[]=;return;}
  88. int len=l<<;
  89. solve(A,l>>);cls(A,l,len);
  90. cpy(t,a,l);cls(t,l,len);
  91. ntt(A,len,);ntt(t,len,);
  92. for(int i=;i<len;++i){
  93. int tmp=A[i];
  94. A[i]=(mod-1ll*iv[]*t[i]%mod*A[i]%mod*A[i]%mod)%mod;
  95. t[i]=(mod-1ll*t[i]*tmp%mod)%mod;
  96. }
  97. ntt(A,len,-);cls(A,l,len);A[]++;
  98. ntt(t,len,-);cls(t,l,len);dif(t,l);
  99. exp(t,r,l);inv(r,t,l);
  100. ntt(A,len,);ntt(r,len,);
  101. for(int i=;i<len;++i)A[i]=1ll*A[i]*r[i]%mod;
  102. ntt(A,len,-);cls(A,l,len);
  103. dif(A,l);
  104. ntt(A,len,);ntt(t,len,);
  105. for(int i=;i<len;++i)A[i]=1ll*A[i]*t[i]%mod;
  106. ntt(A,len,-);cls(A,l,len);
  107. }
  108. }
  109. int main(){
  110. // freopen("uoj50.in","r",stdin);
  111. // freopen("uoj50.out","w",stdout);
  112. scanf("%d%s",&n,s+);
  113. for(int i=fac[]=;i<=n;++i){
  114. fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
  115. if(s[i]-'')a[i-]=pw(fac[i-],mod-);
  116. }
  117. int len=;for(;len<=n;len<<=);
  118. poly::init(len<<);
  119. poly::solve(ans,len);
  120. for(int i=;i<=n;++i)write(1ll*ans[i]*fac[i]%mod);
  121. flush();
  122. return ;
  123. }

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