uoj50【UR#3】链式反应

• 题解：

  • 令$a(x)$为破坏死光的$EFG$,$f(x)$为方案的$EGF$：$f(x) = x + \int \  \frac{1}{2} f^2(x) a(x) \  dt$;
  • 注意到$f(0)=0$，所以考虑如何解：$f'(x) =  \frac{1}{2} a(x) f(x)^2 + 1$
  • 设$g(f) = 1 + \frac{1}{2}af^2$，即求解$f' = g(f)$;
  • 主要思想是牛顿迭代，假设已经求得$f  \equiv f_{0}   \pmod {x^{n}} $：
  • 泰勒展开得：$f' \equiv g(f_{0}) + g'(f_{0})(f - f_{0}) \pmod {x^{2n}} $
  • $f' - g'(f_{0})f \equiv g(f_{0}) - g'(f_{0})f_{0} $
  • 进一步令：$r \equiv e ^ {\int \  - g'(f_{0}) \ dt}$，（注意有$r' = -g'(f_{0}) r$）
  • 两边同时乘以$r$ 得到：
  • $f'r - fr' \equiv  (g(f_{0}) - g'(f_{0})f_{0}) r$
  • $(fr)' \equiv (g(f_{0}) - g'(f_{0})f_{0}) r$
  • $ f \equiv \frac{  \int \  (1 - \frac{1}{2}af_{0}^{2})r \ dt }{r} \pmod {x^{2n}}$
  • 就可以求了；

 #include<bits/stdc++.h>
 #define mod 998244353
 #define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
 #define Don(i,l,r) for(int i=l;i>=r;--i)
 const int N=<<;
 using namespace std;
 int n,a[N],fac[N],ans[N];
 char s[N],ps[],*pp=ps;
 int pw(int x,int y){
     if(y<)y+=mod-;
     int re=;
     for(;y;y>>=,x=1ll*x*x%mod)if(y&)re=1ll*re*x%mod;
     return re;
 }
 void push(char x){
     if(pp==ps+)fwrite(ps,,,stdout),pp=ps;
     *pp++=x;
 }
 void write(int x){
     static int top,sta[];
     if(!x){push(''),push('\n');return;}
     while(x)sta[++top]=x%,x/=;
     while(top)push(sta[top--]^'');
     push('\n');
 }
 void flush(){fwrite(ps,,pp-ps,stdout);}
 namespace poly{
     int g=,iv[N],rev[N],L;
     void init(int l){for(int i=;i<=l;++i)iv[i]=pw(i,mod-);}
     void cls(int*A,int l,int r){for(int i=l;i<r;++i)A[i]=;}
     void cpy(int*A,int*B,int l){for(int i=;i<l;++i)A[i]=B[i];}
     void der(int*A,int l){Run(i,,l-)A[i]=1ll*(i+)*A[i+]%mod;A[l-]=;}
     void dif(int*A,int l){Don(i,l-,)A[i]=1ll*iv[i]*A[i-]%mod;A[]=;}
     void ntt(int*A,int l,int f){
         for(L=;(<<L)<l;++L);
         for(int i=;i<l;++i){
             rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(L-));
             if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);
         }
         for(int i=;i<l;i<<=){
             int wn=pw(g,f*(mod-)/(i<<));
             for(int j=;j<l;j+=i<<){
                 int w=;
                 for(int k=;k<i;++k,w=1ll*w*wn%mod){
                     int x=A[j+k],y=1ll*w*A[j+k+i]%mod;
                     A[j+k]=(x+y)%mod,A[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
                 }
             }
         }
         if(!~f){for(int i=;i<l;++i)A[i]=1ll*A[i]*iv[l]%mod;}
     }
     void inv(int*A,int*B,int l){
         static int t[N];
         if(l==){B[]=pw(A[],mod-);return;}
         int len=l<<;
         inv(A,B,l>>);cls(B,l,len);
         cpy(t,A,l);cls(t,l,len);
         ntt(t,len,);ntt(B,len,);
         for(int i=;i<len;++i)B[i]=1ll*B[i]*(-1ll*t[i]*B[i]%mod+mod)%mod;
         ntt(B,len,-);cls(B,l,len);
     }
     void ln(int*A,int*B,int l){
         static int t[N];
         int len=l<<;
         inv(A,B,l);
         cpy(t,A,l);cls(t,l,len);
         der(t,l);
         ntt(B,len,);ntt(t,len,);
         for(int i=;i<len;++i)B[i]=1ll*B[i]*t[i]%mod;
         ntt(B,len,-);cls(B,l,len);
         dif(B,l);
     }
     void exp(int*A,int*B,int l){
         static int t[N];
         if(l==){B[]=;return;}
         int len=l<<;
         exp(A,B,l>>);cls(B,l,len);
         ln(B,t,l);
         for(int i=;i<l;++i)t[i]=(A[i]-t[i]+mod)%mod;
         t[]++;
         ntt(B,len,);ntt(t,len,);
         for(int i=;i<len;++i)B[i]=1ll*B[i]*t[i]%mod;
         ntt(B,len,-);cls(B,l,len);
     }
     void solve(int*A,int l){
         static int t[N],r[N];
         if(l==){A[]=;return;}
         int len=l<<;
         solve(A,l>>);cls(A,l,len);
         cpy(t,a,l);cls(t,l,len);
         ntt(A,len,);ntt(t,len,);
         for(int i=;i<len;++i){
             int tmp=A[i];
             A[i]=(mod-1ll*iv[]*t[i]%mod*A[i]%mod*A[i]%mod)%mod;
             t[i]=(mod-1ll*t[i]*tmp%mod)%mod;
         }
         ntt(A,len,-);cls(A,l,len);A[]++;
         ntt(t,len,-);cls(t,l,len);dif(t,l);
         exp(t,r,l);inv(r,t,l);
         ntt(A,len,);ntt(r,len,);
         for(int i=;i<len;++i)A[i]=1ll*A[i]*r[i]%mod;
         ntt(A,len,-);cls(A,l,len);
         dif(A,l);
         ntt(A,len,);ntt(t,len,);
         for(int i=;i<len;++i)A[i]=1ll*A[i]*t[i]%mod;
         ntt(A,len,-);cls(A,l,len);
     }
 }
 int main(){
 //    freopen("uoj50.in","r",stdin);
 //    freopen("uoj50.out","w",stdout);
     scanf("%d%s",&n,s+);
     for(int i=fac[]=;i<=n;++i){
         fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
         if(s[i]-'')a[i-]=pw(fac[i-],mod-);
     }
     int len=;for(;len<=n;len<<=);
     poly::init(len<<);
     poly::solve(ans,len);
     for(int i=;i<=n;++i)write(1ll*ans[i]*fac[i]%mod);
     flush();
     return ;
 }