【CodeForces】906 D. Power Tower 扩展欧拉定理

【题目】D. Power Tower

【题意】给定长度为n的正整数序列和模数m，q次询问区间[l,r]累乘幂%m的答案。n,q<=10^5，m,ai<=10^9。

【算法】扩展欧拉定理

【题解】扩展欧拉定理的形式：

$$a^b\equiv a^{b\%\varphi(p)+\varphi(p)} \ \ mod \ \ p \ \ (b\geq \varphi(p))$$

特别注意当b<φ(p)且(a,p)≠1时不变。

假如现在是三个累乘幂a^(b^c)，那么根据扩展欧拉定理：

$$a^{b^c}\ \ mod \ \ p\equiv a^{b^c\%\varphi(p)+\varphi(p)} \ \ mod \ \ p$$

这样我们只需要计算：

$$b^c\ \ mod \ \ \varphi(p)$$

更多个累乘幂的时候只需要不断递归取φ，直至1为止（φ(1)=1）。可以证明至多log(p)次可以得到答案。

这样计算累乘幂的复杂度就是O(log p*log n)，也即一次询问的极限复杂度。

这里过程中用到的欧拉函数至多log p个，直接暴力求解，预处理复杂度O(log p*√n)，用map存储，实现中可以直接记忆化。

总复杂度O(q*log p*log n)。

#include<cstdio>
#include<map>
#define ll long long
bool isdigit(char c){return c>=''&&c<='';}
int read(){
    int s=,t=;char c;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-;
    do{s=s*+c-'';}while(isdigit(c=getchar()));
    return s*t;
}
using namespace std;
const int maxn=;
map<int,int>p;
int a[maxn],n,m,q;
int phi(int n){
    if(p.count(n))return p[n];
    int ans=n,m=n;
    for(int i=;i*i<=n;i++)if(n!=&&n%i==){
        ans=ans/i*(i-);
        while(n%i==)n/=i;
    }
    if(n>)ans=ans/n*(n-);
    p[m]=ans;
    return ans;
}
int mod(ll x,int y){return x<y?x:x%y+y;}//focus on add,because 2e9*2>int
int power(int x,int k,int m){
    int ans=;
    while(k){
        if(k&)ans=mod(1ll*ans*x,m);
        x=mod(1ll*x*x,m);
        k>>=;
    }
    return ans;
}
int calc(int l,int r,int m){
    if(l==r||m==)return mod(a[l],m);
    return power(a[l],calc(l+,r,phi(m)),m);
}
int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=;i<=n;i++)a[i]=read();
    q=read();
    while(q--){
        int l=read(),r=read();
        printf("%d\n",calc(l,r,m)%m);
    }
    return ;
}        

实现：

1.递归过程中直接返回ans+mod，这样下一层就自带+φ(m)了，最后输出答案记得%m就可以了。

2.快速幂过程中的取模改为 int mod(ll x,int y){return x<y?x:x%y+y;} ，这样到某一次数字超过y之后，后面每次都会强制超过y然后+y直至最后一次。

【BZOJ】4869 相逢是问候

#2142. 「SHOI2017」相逢是问候

因为至多log次，所以暴力计算维护线段树，n个数字，每个至多log p次修改，每次都要重新计算一次log p，快速幂log n。所以复杂度O(n log3n)。

预处理phi的递归序列，然后转化为非递归计算常数比较小。

代码见：zsnuo

有一种优化方法，因为快速幂至多1e8且都是以c为底，可以预处理c^(0~1e4)，令t=c^(1e4)，再预处理t^(0~1e4)，这样对于一个数字查一下大表t再定位到小表c就行了。

这就是传说中的分段打表，具体见：ripped