模板 RMQ问题ST表实现/单调队列

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：

对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小（大）值，RMQ问题是指求区间最值的问题。

for循环遍历一边，然后输出，那么你很容易想到会被T飞掉；

1、先写一种比较高效的ST算法解决这个问题。

线段树预处理O（nlogn），查询O（logn），支持在线修改 
ST表预处理O（nlogn），查询O（1），但不支持在线修改

其实ST表是一种动态规划的思想；每次运用倍增思想求解每一个区间；

一个序列的子区间有o(n^2)个，根据倍增思想，我们首先在这个规模中选择一些2的正实数次幂作为代表值；

定义：f(i,j)表示[i,i+2^j−1] 这段长度为2^j 的区间中的最大值。也就是从i开始2^j个数的最大值；

边界：f(i,0)=ai。即f[i,i]区间的最大值就是ai。

递推时我们把子区间的长度成倍增长，$f(i,j)=max{f(i,j−1),f(i+2^j−1,j−1)}$；

状态转移：将[i,j]平均分成两段，一段为[i,i+2^j−1]，另一段为[i+2^j−1,i+2^j−1]。

即两段子区间的长度均为2^j−1。f(i,j)的最大值即这两段的最大值中的最大值。

查询任意区间[l,r]时，我们先计算出一个k，满足2^k<r-l+1<=2^k+1;也就是使2^k小于区间的前提下的最大的k，

那么“从l开始2^k个数”和以r结尾的2^k个数，这两段一定覆盖了整个区间[l,r],

这两段的最大值分别是f[l,k],f[r-2^k+1,k],两个中较大的就是整个区间[l,r]的最值，即使重叠也没有关系；

网上也有这样解释的；https://blog.csdn.net/Hanks_o/article/details/77547380

一个查询最小值的问题：质量检测

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=;T f=,ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))  {if(ch=='-')  f=-;  ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {x=x*+ch-'';  ch=getchar();}
    x*=f;
}
int n,m,f[][],x,y;
inline void Rmq(int x)
{
    for(int i=; i<=; i++)
    {
            for(int j=; j<=x; j++)
            {
                if(j+(<<i)-<=x)//使j+(1<<i)-1不超过区间最右端；
                f[j][i]=min(f[j][i-],f[j+(<<(i-))][i-]);//动态规划；
            }
    }
}
inline int query(int x,int y)
{
    int k=log2(y-x+);
    return min(f[x][k],f[y-(<<k)+][k]);
}
int main()
{
    read(n);read(m);
    for(int i=;i<=n;i++)
        read(f[i][]);
    Rmq(n);
    for(int i=;i<=n-m+;i++)
        printf("%d\n",query(i,i+m-));
    return ;
}

毕竟最大最小改一下min，max就可以了；

忠诚

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=;T f=,ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))  {if(ch=='-')  f=-;  ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {x=x*+ch-'';  ch=getchar();}
    x*=f;
}
int n,m,f[][],x,y,a[];
inline void Rmq(int x)
{
    for(int i=; i<=; i++)
    {
            for(int j=; j<=x; j++)
            {
            if(j+(<<i)-<=x)
                f[j][i]=min(f[j][i-],f[j+(<<(i-))][i-]);
            }
    }
}
inline int query(int x,int y)
{
    int k=log2(y-x+);
    return min(f[x][k],f[y-(<<k)+][k]);
}
int main()
{
    read(n);read(m);
    for(int i=;i<=n;i++)
        read(f[i][]);
    Rmq(n);
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        read(x);read(y);
        a[i]=query(x,y);
    }
    for(int i=;i<=m;i++)
        printf("%d ",a[i]);
    return ;
}

但有点变态的是，这个过不了洛谷的1440，所以我们再来讲一下单调队列的实现方式；

例题：滑动窗口

这个单调队列讲解好强：https://www.luogu.org/blog/hankeke/solution-p1886

本题样例：

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

下文中我们用q来表示单调队列，p来表示其所对应的在原列表里的序号。

1. 由于此时队中没有一个元素，我们直接令1进队。此时，q={1},p={1}。

2. 现在3面临着抉择。下面基于这样一个思想:假如把3放进去，如果后面2个数都比它大，那么3在其有生之年就有可能成为最小的。此时，q={1,3},p={1,2}

3. 下面出现了-1。队尾元素3比-1大，那么意味着只要-1进队，那么3在其有生之年必定成为不了最小值，原因很明显:因为当下面3被框起来，那么-1也一定被框起来，所以3永远不能当最小值。所以，3从队尾出队。同理，1从队尾出队。最后-1进队，此时q={-1},p={3}

4. 出现-3，同上面分析，-1>-3，-1从队尾出队,-3从队尾进队。q={-3}，p={4}。

5. 出现5，因为5>-3，同第二条分析，5在有生之年还是有希望的，所以5进队。此时，q={-3,5},p={4,5}

6. 出现3。3先与队尾的5比较，3<5，按照第3条的分析，5从队尾出队。3再与-3比较，同第二条分析，3进队。此时，q={-3,3},p={4,6}

7. 出现6。6与3比较，因为3<6，所以3不必出队。由于3以前元素都＜3，所以不必再比较，6进队。因为-3此时已经在滑动窗口之外，所以-3从队首出队。此时，q={3,6},p={6,7}

8. 出现7。队尾元素6小于7，7进队。此时，q={3,6,7},p={6,7,8}。

那么，我们对单调队列的基本操作已经分析完毕。因为单调队列中元素大小单调递*(增/减/自定义比较)，因此，队首元素必定是最值。按题意输出即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=;T f=,ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))  {if(ch=='-')  f=-;  ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {x=x*+ch-'';  ch=getchar();}
    x*=f;
}
int head,tail,q[],p[],k,n,a[];
inline void maxn()
{
    head=;tail=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        while(head<=tail&&q[tail]<=a[i])
            --tail;
        q[++tail]=a[i];
        p[tail]=i;
        while(p[head]<=i-k)
            head++;
        if(i>=k) printf("%d ",q[head]);
    }
    putchar('\n');
}
inline void minn()
{
    head=;tail=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        while(head<=tail&&q[tail]>=a[i])
            --tail;
        q[++tail]=a[i];
        p[tail]=i;
        while(p[head]<=i-k)
            head++;
        if(i>=k) printf("%d ",q[head]);
    }
    putchar('\n');
}
int main()
{
    read(n);read(k);
    for(int i=;i<=n;i++)
        read(a[i]);
    minn();
    maxn();
    return ;
}