[物理学与PDEs]第2章习题13 将 $p$ - 方程组化为守恒律形式的一阶拟线性对称双曲组

试引进新的未知函数, 将 $p$ - 方程组 $$\beex \bea \cfrac{\p \tau}{\p t}-\cfrac{\p u}{\p x}&=0,\\ \cfrac{\p u}{\p t}+\cfrac{\p }{\p x}p(\tau)&=F. \eea \eeex$$ 化为守恒律形式的一阶拟线性对称双曲组. 这里假定 $p'(\tau)<0$.

解答: 由于流场是均熵流, 而 $$\bex \rd e=-p\rd \tau. \eex$$ 取 $$\bex W=e+\cfrac{u^2}{2}, \eex$$ 则 $$\bex \cfrac{\p W}{\p t} =-p\cfrac{\p \tau}{\p t} +u\cfrac{\p u}{\p t} =-p\cfrac{\p u}{\p x} +u\cdot\sex{-\cfrac{\p p}{\p x}} =-\cfrac{\p}{\p x}(pu). \eex$$ 由于 $W$ 关于 $\tau,u$ 的 Hessian $$\bex \sex{\ba{cc} -p'(\tau)&0\\ 0&1 \ea} \eex$$ 是正定的, 我们可据定理 1. 1 (书 P 96) 及其证明知, 通过未知函数变换 $$\bex v_0=\cfrac{\p W}{\p \tau}=-p,\quad v_1=\cfrac{\p W}{\p u}=u, \eex$$ 可将 $p$ - 方程组化为守恒律形式的一阶拟线性对称双曲组 $$\bex \cfrac{\p L^0_{v_i}}{\p t}+\cfrac{\p}{\p x}L^1_{v_i}=0,\quad i=0,1, \eex$$ 其中 $$\beex \bea L^0&=-p\tau +u^2-\sex{e+\cfrac{u^2}{2}} =-p\tau -e+\cfrac{u^2}{2},\\ L^1&=(-p)\cdot (-u)+up -pu=pu. \eea \eeex$$ 于是所求为 $$\beex \bea \cfrac{\p }{\p t}[-p'(\tau)\tau]+\cfrac{\p}{\p x}[p'(\tau)u]&=0,\\ \cfrac{\p u}{\p t}+\cfrac{\p}{\p x}p(\tau)&=0. \eea \eeex$$