2019.03.28 bzoj3326: [Scoi2013]数数（数位dp）

传送门

题意：

一个人数数，规则如下：

1. 确定数数的进制B
2. 确定一个数数的区间[L, R]
3. 对于[L, R] 间的每一个数，把该数视为一个字符串，列出该字符串的所有连续子串对应的B进制数的值。
4. 对所有列出的数求和。

结果用10 进制表示，对20130427取模。

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思路：

我不知道为什么要从低位开始向高位处理2333333手动毒瘤

然后肝了好久幸好没有推错不然就自闭了

不过需要多预处理一点东西。

假设现在计算[1,a][1,a][1,a]的答案，aaa一个表示BBB进制数的数组

ssi:ss_i:ssi​:所有不含前导000的iii位数的子串之和。

s1i:s_{1i}:s1i​:所有包含前导000的iii位数的子串之和。

s2i:s_{2i}:s2i​:所有包含前导000的iii位数的前缀串之和。

pwi:pw_i:pwi​:BBB的iii次方。

spwi:spw_i:spwi​:pwpwpw的前缀和。

预处理出上面的信息就可以递推了（注意我是从后往前推的所以很复杂）：

设现在在第iii位，我们记fff表示iii~nnn满足aaa数组限制的所有n−i+1n-i+1n−i+1位数的子串之和，pfpfpf表示i+1i+1i+1位推出的fff;

ggg表示满足aaa数组限制的所有n−i+1n-i+1n−i+1位数的个数，pgpgpg表示i+1i+1i+1位推出的ggg;

sss表示满足aaa数组限制的所有n−i+1n-i+1n−i+1位数的前缀串之和，pspsps表示i+1i+1i+1位推出的sss。

然后就可以分第iii位填000，填111~ai−1a_i-1ai​−1,aia_iai​的情况大力转移了，注意特判ai=0a_i=0ai​=0的情况。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
const int rlen=1<<18|1;
inline char gc(){
	static char buf[rlen],*ib,*ob;
	(ib==ob)&&(ob=(ib=buf)+fread(buf,1,rlen,stdin));
	return ib==ob?-1:*ib++;
}
inline int read(){
	int ans=0;
	char ch=gc();
	while(!isdigit(ch))ch=gc();
	while(isdigit(ch))ans=((ans<<2)+ans<<1)+(ch^48),ch=gc();
	return ans;
}
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,mod=20130427;
inline int add(const int&a,const int&b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int mul(const int&a,const int&b){return (ll)a*b%mod;}
inline void update(int&a,const int&b){a=a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
int B,n,ans=0,a[N],pw[N],spw[N],s1[N],s2[N],ss[N];
inline int calc(int x){return (ll)(x+1)*x/2%mod;}
inline void init(){
	pw[0]=spw[0]=1;
	for(ri i=1;i<=n;++i)pw[i]=mul(pw[i-1],B),spw[i]=add(pw[i],spw[i-1]);
	s1[0]=s2[0]=ss[0]=0;
	for(ri i=1,tmp=calc(B-1);i<=n;++i)s2[i]=add(mul(tmp,mul(pw[i-1],spw[i-1])),mul(s2[i-1],B));
	for(ri i=1,tmp=calc(B-1);i<=n;++i)s1[i]=add(mul(tmp,mul(pw[i-1],spw[i-1])),mul(B,add(s2[i-1],s1[i-1])));
	for(ri i=1;i<=n;++i)ss[i]=add(mul(add(s1[i-1],s2[i-1]),B-1),mul(calc(B-1),mul(pw[i-1],spw[i-1]))),update(ss[i],ss[i-1]);
	update(ans,ss[n-1]);
}
inline void solve(){
	n=read();
	for(ri i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
	init();
	for(ri tmp,ps=0,pf=0,pg=1,s,f,g,i=n;i;--i,pf=f,pg=g,ps=s){
		if(!a[i]){f=add(pf,ps),g=pg,s=ps;continue;}
		f=s=0,g=1;
		tmp=mul(a[i]-1,add(s1[n-i],s2[n-i]));
		update(tmp,mul(mul(calc(a[i]-1),spw[n-i]),pw[n-i]));
		update(f,tmp);
		if(i==1)update(ans,tmp);
		g=mul(g,mul(pw[n-i],a[i]-1));
		update(s,mul(mul(calc(a[i]-1),pw[n-i]),spw[n-i]));
		update(s,mul(s2[n-i],a[i]-1));
		update(f,add(s1[n-i],s2[n-i]));
		update(g,pw[n-i]);
		update(s,s2[n-i]);
		tmp=mul(mul(a[i],pg),spw[n-i]);
		update(tmp,pf),update(tmp,ps);
		update(f,tmp);
		if(i==1)update(ans,tmp);
		update(g,pg),update(s,mul(mul(pg,a[i]),spw[n-i])),update(s,ps);
	}
}
inline void Solve(){for(ri i=1,sum=0;i<=n;++i)ans=add(ans,sum=add(mul(sum,B),mul(a[i],i)));}
int main(){
	B=read();
	solve();
	ans=mod-ans;
	Solve();
	solve();
	cout<<ans;
	return 0;
}