【位运算】codeforces 1775 C. Interesting Sequence

题意

输入一个正整数 \(T(1 \leq T \leq 2000)\)，代表 \(T\) 组测试用例。对于每个测试用例：

输入两个整数 \(n, m(0 \leq n, m \leq 10^{18})\)，问：能否找到一个数 \(n + x\) 使得 \(n\) & \((n + 1)\) & ... & \((n + x) == m\) 成立？若能，输出最小的 \(n + x\)，否则输出 \(-1\)。

题解

对于 \(n \lt m\) 的情况，由于与运算只会使结果单调不增，因此 \(n \lt m\) 的情况必定无法找到合适的解。

对于 \(n == m\) 的情况，明显直接输出 \(n\) 即可。

对于 \(m \lt n\) 的情况，首先必须保证 \(n\) & \(m == m\)，否则必定无法找到合适的解。比如：\(6_{10}(1100_2)\) 和 \(2_{10}(0010_2)\)，由于 \(6_{10}\) 的第 \(2\) 位bit是 \(0\)，那么这一个bit位进行与运算的结果必定为 \(0\)，必不成立。对于 \(n\) & \(m = m\) 成立的情况，可对 \(m == 0\) 是否成立进行讨论：

• \(m == 0\) 成立，只需要找到一个能使 \(n\) 在二进制形式下全部位数都置为 \(0\) 的数即可，明显最小的符合要求的数就是 \(n\) 在二进制形式下最高位的 \(1\) 再左移一位的结果。比如：\(13_{10}(01101_2)\) & \(16_{10}(10000_2) == 0\)。
• \(m == 0\) 不成立，假设当前的值为 \(n\)，那么必须先与 \(n + 1\) 进行与运算，那么可得知的是二进制形式下必定是低位先被置为 \(0\)，并且在进行位运算的时候，不可以使得 \(n\) & \(m == m\) 不再成立。所以只需要先算出 \(m\) 的最低位的 \(1\) 的位置 \(lb\)，再判断出当 \(lb > 1\) 时 \(n\) 的 \(lb - 1\) 位是否为 \(1\) 即可，若是必定无解，否则答案就是 \(n\) 再异或上第一段从 \(lb - 1\) 起至最低位连续的 \(1\)的结果。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
using namespace std;

typedef long long ll;
ll ans, n, m;
int T = 1;

void solve() {
    cin >> n >> m;
    if (n < m || n & m != m) ans = -1;
    else if (n == m) ans = n;
    else {
        int t = __builtin_ffsll(m);
        if (!m) {
            for (int i = 61; i >= 0; -- i) {
                if (n >> i & 1) {
                    ans = 1LL << (i + 1);
                    break;
                }
            }
        } else if (n >> t != m >> t || t > 1 && n >> t - 2 & 1) ans = -1;
        else {
            for (int i = t - 3; i >= 0; -- i) {
                if (n >> i & 1) {
                    ans = 1LL << i + 1 | n >> t - 1 << t - 1;
                    while (i >= 0 && n >> i & 1) {
                        ans &= ~(1LL << i);
                        -- i;
                    }
                    break;
                }
            }
        }
    }
    cout << ans << '\n';
}

int main() {
    IOS
    cin >> T;
    while (T --) solve();
    return 0;
}