CF405E Graph Cutting 解题报告

1 题目链接

https://codeforces.com/problemset/problem/405/E

2 题目整理

题目：图形切割

题目描述

小克里斯正在参加一场图形切割比赛。他是一个职业选手。是时候充分考验他的技能了。

给出了一个简单的无向连通图，它有\(n\)个顶点(编号从\(1\)到\(n\))和\(m\)条边，每条边长度为\(1\)。问题是把它切成\(\frac{m}{2}\)个长度为\(2\)的路径。形式上，克里斯必须把图的所有边分成成对的这样，一对中的边是相邻的，每条边必须恰好包含在一对中。

你有机会和克里斯竞争。找到一种方法来切割给定的图表或确定它是不可能的!

输入格式

第一行两个整数\(n, m\)，分别表示顶点的个数与边的个数。

接下来\(m\)行每行两个整数\(u_i, v_i\)，分别表示第\(i\)条无向边的两个端点。

输出格式

如果这个图有可能被切分，输出\(\frac{m}{2}\)行，每行三个数\(a \ b \ c\)，分别表示一组长度为2的路径中按遍历顺序输出的三个点的编号，如果存在多种切分方式，输出任意一种即可。

否则，输出一行一个字符串\("No \ solution"\)。

样例输入1

样例输出1

样例输入2

样例输出2

No solution

样例输入3

样例输出3

1 2 3

数据范围

对于\(100\%\)的数据:

\(1 \leq n, m \leq 10^5\)
\(1 \leq u_i, v_i \leq n\)
\(u_i \neq v_i\)

3 题意分析

3.1 题目大意

给你一个\(n\)个点\(m\)条边的简单无向图，问你能否将这个图分割成\(\frac{m}{2}\)个长度恰好为\(2\)的路径，使得每条边都恰好出现一次。如果能，请输出其中一种构造，否则输出\("No \ solution"\)。

3.2 样例分析

如上所述。

4 解法分析

一道dfs树 + 构造的神题（可能是因为我太水了）。

我们先考虑一棵树的情况。

如果题目给的是一棵树的话，若我们现在已经来到了结点\(root\),那么我们先把他的儿子顶点先递归一遍，然后再来判断他的儿子节点。假设现在他正在判断儿子节点\(v_i\)：

如果此儿子节点递归构造后还有剩余的边和点\(c\)没有用到，那么我们就将\(root \ v_i \ c\)构成一组即可。
如果此儿子节点没有剩余的边，那么把所有这样的儿子节点(假设总共有\(p\)个)\(v_i\)放进一个数组里\(d_1, d_2, \cdots,d_p\),然后将\(d_1 \ root \ d_2\)构成一组，\(d_3 \ root \ d_4\)构成一组，\(\cdots\),一直下去。这里，如果\(p\)为奇数，则把\(d_p\)看做未构造的顶点，供前面的递归使用。

这里可以发现，只要\(m\)是偶数，就一定能构造出来；只要\(m\)是奇数，就一定无法构造。

那对于图来说呢，当然我们可以通过dfs，把这个图转化成一颗树。

这样，这道题就完成了。(真的没想到这篇博客写的这么累)

AC代码

ACCode #001

// From ko_osaga

// Rating 3276

// reason : 思路清晰代码简洁明了，运用了set来储存图（怎么感觉有点浪费？）

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long lint;

typedef long double llf;

typedef pair<int, int> pi;

typedef vector<int> vi;

set<int> gph[100005];

int n, m;

int dfs(int x){

	vector<int> lis;

	while(gph[x].size()){

		int p = *gph[x].begin();

		gph[x].erase(p);

		gph[p].erase(x);

		int t = dfs(p);

		if(t != -1){

			printf("%d %d %d\n", x, p, t);

		}

		else{

			lis.push_back(p);

		}

	}

	for(int i=lis.size()%2; i<lis.size(); i+=2){

		printf("%d %d %d\n",lis[i], x, lis[i+1]);

	}

	if(lis.size() & 1) return lis[0];

	return -1;

}

int main(){

	scanf("%d %d",&n,&m);

	if(m%2 == 1){

		puts("No solution");

		return 0;

	}

	for(int i=0; i<m; i++){

		int s, e;

		scanf("%d %d",&s,&e);

		gph[s].insert(e);

		gph[e].insert(s);

	}

	dfs(1);

}

ACCode #002

// From RNS_MHB

// Rating 2539

// reason : 思路清晰代码简洁明了，先建立dfs树，然后再跑构造的。

#include <stdio.h>

#include <vector>

#include <memory.h>

#include <algorithm>

#define N 100100

#define clr(a) memset(a, 0, sizeof(a))

using namespace std;

int head[N], to[N<<1], next[N<<1];

int n, m;

vector <int> vec[N];

bool vis[N];

int p[N];

bool chk[N];

int dep[N];

int id[N];

int linkp[N];

bool cmp(int x, int y) {

	return dep[x]>dep[y];

}

inline int exc(int v) {

	if (v>m) return v-m;

	return v;

}

void dfs(int u) {

	int i, j, k;

	vis[u]=1, id[u]=u;

	dep[u]=dep[p[u]]+1;

	for (i=head[u]; i; i=next[i]) {

		j=to[i];

		if (p[u]==j) continue;

		k=exc(i);

		if (!chk[k]) {

			vec[u].push_back(j);

			chk[k]=1;

		}

		if (!vis[j]) p[j]=u, dfs(j);

	}

}

int main() {

	int i, j, k, I;

	bool state;

//	freopen ("in.txt", "r", stdin);

	scanf("%d %d", &n, &m);

	for (i=1; i<=m; i++) {

		scanf("%d %d", &j, &k);

		to[i]=k, next[i]=head[j], head[j]=i;

		to[i+m]=j, next[i+m]=head[k], head[k]=i+m;

	}

	if (m&1) {

		puts("No solution");

		return 0;

	}

	dfs(1);

	sort(id+1, id+n+1, cmp);

	for (I=1; I<=n; I++) {

		i=id[I];

		state=0;

		for (j=0; j<vec[i].size(); j++) {

			k=vec[i][j];

			if (p[k]==i && linkp[k]) continue;

			if (!state) printf("%d %d ", k, i);

			else printf("%d\n", k);

			if (p[k]==i) linkp[k]=1;

			state^=1;

		}

		if (state) {

			linkp[i]=1;

			printf("%d\n", p[i]);

		}

	}

	return 0;

}

ACCode #003

// From vepifanov

// Rating 2970

// reason : 思路清晰代码简洁明了

#include <cstdio>

#include <numeric>

#include <iostream>

#include <vector>

#include <set>

#include <cstring>

#include <string>

#include <map>

#include <cmath>

#include <ctime>

#include <algorithm>

#include <bitset>

#include <queue>

#include <sstream>

#include <deque>

using namespace std;

#define mp make_pair

#define pb push_back

#define rep(i,n) for(int i = 0; i < (n); i++)

#define re return

#define fi first

#define se second

#define sz(x) ((int) (x).size())

#define all(x) (x).begin(), (x).end()

#define sqr(x) ((x) * (x))

#define sqrt(x) sqrt(abs(x))

#define y0 y3487465

#define y1 y8687969

#define fill(x,y) memset(x,y,sizeof(x))

typedef vector<int> vi;

typedef long long ll;

typedef long double ld;

typedef double D;

typedef pair<int, int> ii;

typedef vector<ii> vii;

typedef vector<string> vs;

typedef vector<vi> vvi;

template<class T> T abs(T x) { re x > 0 ? x : -x; }

int n;

int m;

vi v[100000];

int was[100000];

vector<pair<int, ii> > res;

int go (int x, int p) {

    vi u;

    was[x] = 1;

    for (int i = 0; i < sz (v[x]); i++) {

        int y = v[x][i], z;

        if (y == p) continue;

        if (!was[y]) {

            z = go (y, x);

            if (z != -1) res.pb (mp (z, mp (y, x))); else u.pb (y);

        } else

        if (was[y] == 2) u.pb (y);

    }

    while (sz (u) > 1) {

        int a = u.back ();

        u.pop_back ();

        int b = u.back ();

        u.pop_back ();

        res.pb (mp (a, mp (x, b)));

    }

    was[x] = 2;

    if (u.empty ()) re -1;

    re u[0];

}

int main () {

    scanf ("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 0; i < m; i++) {

        int a, b;

        scanf ("%d%d", &a, &b); a--; b--;

        v[a].pb (b);

        v[b].pb (a);

    }

    for (int i = 0; i < n; i++)

        if (!was[i] && go (i, i) != -1) {

            printf ("No solution\n");

            re 0;

        }

    for (int i = 0; i < m / 2; i++)

        printf ("%d %d %d\n", res[i].fi + 1, res[i].se.fi + 1, res[i].se.se + 1);

    return 0;

}