PAT乙级(Basic Level)练习题-NowCoder数列总结

题目描述

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NowCoder最近在研究一个数列：

• F(0) = 7
• F(1) = 11
• F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n≥2)
  
  他称之为NowCoder数列。请你帮忙确认一下数列中第n个数是否是3的倍数。

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输入描述：

输入包含多组数据。

每组数据包含一个整数n，(0≤n≤1000000)。

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输出描述

对应每一组输入有一行输出。

如果F(n)是3的倍数，则输出“Yes”；否则输出“No”。

输入例子：

0

1

2

3

4

5

输出例子：

No

No

Yes

No

No

No

题目分析

这是一个特殊初始条件的Fibonacci sequence.

1.初始条件n的值比较小，可以直接枚举每个F(n)的值，然后输入n查询：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int main (){
    int n;
  	int *a=new int[N];
  	a[0]=7;
    a[1]=11;
	for(int i=2;i<N;i++)
		a[i]=a[i-2]%3+a[i-1]%3;
    while(~scanf("%d", &n)){
		cout<<a[n]<<endl;
    	if(a[n]%3==0)
			cout<<"Yes"<<endl;
		else
			cout<<"No"<<endl;
	}
    return 0;
}

2.可以寻找到规律：（牛客网友“我要过pat”提供）

这个真牛批，想不到还有这种规律。那Fibonacci数列是否有相似的规律呢？

#include <iostream>
using namespace std;

int main (){
    int n;
    while(cin>>n){
    if((n-2)%4==0)
    	cout<<"Yes"<<endl;
    else
    	cout<<"No"<<endl;
	}
    return 0;
}

3.用矩阵快速幂来求解，这题n的范围比较小(0≤n≤1000000)所以用第1种方法可以不超时求解，但是，倘若n很大，达到(1<=n<=1000,000,000,000,000,000)这个范围，那么显而易见，必定超时。而且根本开不到那么大的数组。学校的算法课，有另外一题类似的，可以思考一下：

借此思路，用矩阵快速幂计算，稍微修改下就可以了。

 #include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 3
#define maxn 2   

using namespace std;  

struct Matrix{
    long long a[maxn][maxn];
    void init(){    //初始化为单位矩阵
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for(int i=0;i<maxn;++i){
            a[i][i] = 1;
        }
    }
};  

//矩阵乘法
Matrix mul(Matrix a, Matrix b){
    Matrix ans;
    for(int i=0;i<maxn;++i){
        for(int j=0;j<maxn;++j){
            ans.a[i][j] = 0;
            for(int k=0;k<maxn;++k){
                ans.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
                ans.a[i][j] %= N;
            }
        }
    }
    return ans;
}  

//矩阵快速幂
Matrix qpow(Matrix a, long long n){
    Matrix ans;
    ans.init();
    while(n){
        if(n&1)
            ans = mul(ans, a);
        a = mul(a, a);
        n /= 2;
    }
    return ans;
}  

int main (){
    long long n;  

    while(~scanf("%lld", &n)){
    Matrix a;
    a.a[0][0] = 1;
    a.a[0][1] = 1;
    a.a[1][0] = 1;
    a.a[1][1] = 0;
    long long s0=7,s1=11;
    if (n>1)
        {
        Matrix ans= qpow(a, n-1);
        long long res=ans.a[0][0]*s1+ans.a[0][1]*s0;
//        printf("%lld",res);
		if(res%3==0)
			cout<<"Yes"<<endl;
		else
			cout<<"No"<<endl;
        }
    else
        cout<<"No"<<endl;  	

	}
    return 0;
}

测评网站真的恶心，有时候循环输入用"cin>>"就可以，有时候又超时。。。得改"成~scanf("%lld", &n)"。另外一开始没想到对中间结果对3取模，导致数值过大溢出。用到unsigned long long 都不够。。。

PS：检测一个数被3整除的算法

1.检测一个数能否被3整除----位运算

如果所有的偶数位出现1的次数为 even_count, 奇数位出现1的次数为 odd_count，两者只差如果是3的倍数，那么这个数就是3倍数。

2.不用除法和求模运算，判断一个数能否被3整除

现在给出一个数a，假设它能被3整除，结果是b，即a=3*b，那么从二进制乘法运算判断出，b的最低位与a的最低位一定是相同的，从而得到了b的最低位，将这个位左移1位变成次低位，那么a的次低位以上的比特减去这个位后在次低位上的结果一定是b的次低位。以此类推可以求出b的各个比特，如果最后能完成对b的各位的计算，那么a能够被3整除，否则不能被3整除。

那么算法原理是什么呢？