Codeforces 665E. Beautiful Subarrays (字典树)
题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/665/E
(http://www.fjutacm.com/Problem.jsp?pid=2255)
题意:找出有多少个连续的区间[l,r](1 ≤ l ≤ r ≤ n),该区间中所有的数的异或值大于等于k;
思路:首先,如果是单看题目的话,会发现暴力的话复杂度是O(n^3),但是我们先预处理异或前缀和,然后你会发现[l,r]区间的异或和等于s[l-1]^s[r],这样就可以O(n^2)的求得答案了,但是因为n是1e6,也就是说暴力绝对超时,因为时间才开了3s(虽然说cf里一秒时限,1e10复杂度也可以莽一莽,但是这个是1e12啊!!)。然后,我们会想,因为是异或,而且是要比较,于是乎我们就想到了字典树(不要问为什么,我就是这样想到的)。然后我们可以开始一波分析:
{
假设:全是5位二进制(默认补全到5位)
前提:S[i]是前i个数的异或和, K为题目里的K, A是S[i]^A=K 即S[i]^K=A
S[i] = 5
K = 24
从高位到低位存入字典树时(默认已经存入,现在在find操作):
{
S[i]:00101
K : 11000
第五位时:k=1,则说明这一位必须往S[i]第五位的异或值方向走,因为我们现在是在查A在字典树上的路径,至于为什么只跑这个数就可以求答案,我们慢慢来。
第四位同理;
第三位时:(#敲黑板划重点)这个时候K的第三位为0,按照我说的来看,我们找A在树上的路径,那么此时我们要跑的下一步是S[i]的第三位和K第三位的异或值也就是A的第三位,那么如果我下一步不往这个方向走呢(此时A的第三位等于S[i]的第三位)?我往S[i]的第三位异或1的方向跑(反向),那么那个方向延伸的树枝上的所有数字就都是大于K的(这里不做解释),也就是我们虽然不需要跑那里,但是我们要加上经过那个延伸出去的树枝包含的数字个数;
第二位、第一位同第三位的代码;
在跑完所有的情况的时候,我们就求出了所有的A,A满足S[i]^A>k,没错,还少,还少一个等于的情况,此时,我们只需要判断我们是否跑完了5位,如果跑完了5位,就加上使用过当前节点的数的个数就得到了答案。
}
换一种说法其实就是在字典树上跑A这个数,如果跑到A这个数的某一节点的时候,此时恰好k的这位为0,那么就加上那一位上s[i]^1方向的所有跑过的数字的数量
Ps:为什么从高位到低位,要是有人不明白就按照上面的方法看看吧!然后你会发现因为高位的值的不确定导致你不能判断。
}
于是乎我们就可以开始写代码了。
Ps:这题的数组大小开到1<<24就好了(本菜鸡之前因为数组开小wa成傻逼)
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct Trie
{
const static int range=;
const static int maxn=<<;///字典树大小
struct node
{
int next[range];
int cnt;///存该节点的经过数字之和
} Trienode[maxn];
int size;
void init()
{
memset(Trienode[].next,,sizeof(Trienode[].next));
Trienode[].cnt=;
size=;
}
void insert(int s)
{
int now=;
for(int i=; i>=; i--)///存31位
{
int c=(s>>i)&;
if(!Trienode[now].next[c])///没有该节点就开辟
{
memset(Trienode[size].next,,sizeof(Trienode[size].next));
Trienode[size].cnt=;
Trienode[now].next[c]=size++;
}
now=Trienode[now].next[c];///往后存
Trienode[now].cnt++;///这个数字经过了该节点,cnt++,因为第一个节点不算,所以说是先往后走再cnt++
}
}
int find(int s, int k)
{
int now=,i, ans=;
for(i=; i>=; i--)///找30位
{
int c=(s>>i)&, key=(k>>i)&;///c:存s[i]的第i位, key:存k的第i位
if(!key&&Trienode[now].next[c^])///如果key=0的时候,参照上面的分析
ans+=Trienode[Trienode[now].next[c^]].cnt;
if(Trienode[now].next[c^key])///往s[i]^K的方向越走越远
now=Trienode[now].next[c^key];
else
break;///没路
}
if(i==-)///跑完30~0的加上最后一位,其他的则是s[i]^K本身不存在
ans+=Trienode[now].cnt;
return ans;
}
} tree;
int ss[];
int main()
{
int n, k;
long long ans=;///答案会爆long long
tree.init( );
tree.insert();///为什么要插入0呢? 因为前i项异或和等于s[i]^0,这样就可以不用特判
ss[]=;///因为ss[i]^0=ss[i],用在输入ss[i]时
scanf("%d%d", &n, &k);
for(int i=; i<=n; i++)
{
scanf("%d", &ss[i]);
ss[i]^=ss[i-];///处理异或前缀和
ans+=tree.find(ss[i], k);///先找
tree.insert(ss[i]);///再查
}
printf("%I64d\n", ans);
}
菜鸡代码
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