Unknown Treasure---hdu5446(卢卡斯+中国剩余定理)
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5446
C(n, m) % (p1*p2*p3*...*pk)的值
其实这个就是中国剩余定理最后算出结果后的最后一步求余
那C(n, m)相当于以前我们需要用中国剩余定理求的值
然而C(n, m)太大,我们只好先算出
C(n, m) % p1 = r1
C(n, m) % p2 = r2
C(n, m) % p3 = r3
.
.
.
C(n, m) % pk = rk
用Lucas,这些r1,r2,r3...rk可以算出来
然后用中国剩余定理求满足num%p[i]=r[i]的最小num即可,num既是所求答案;
注意在运算过程中会出现数相乘爆long long,所以要手动写乘法求余;
- #include <iostream>
- #include <stdio.h>
- #include <string.h>
- #include <string>
- #include <vector>
- #include <algorithm>
- #include <map>
- #include <queue>
- #include <stack>
- #include <math.h>
- using namespace std;
- #define met(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
- #define N 153
- #define INF 0x3f3f3f3f
- typedef long long LL;
- ///快速幂计算a*b%p,因为a*b直接相乘可能会爆LL;
- LL Mul(LL a, LL b, LL p)
- {
- a = (a+p)%p;
- b = (b+p)%p;
- LL ans = ;
- while(b)
- {
- if(b%)
- ans = (ans+a)%p;
- a=(a+a)%p;
- b/=;
- }
- return ans;
- }
- ///用快速幂求a^b%p;
- LL quick_mod(LL a, LL b, LL p)
- {
- LL ans = ;
- a %= p;
- while(b)
- {
- if(b&)
- {
- ans = ans*a%p;
- b--;
- }
- b = b/;
- a = a*a%p;
- }
- return ans;
- }
- ///求C(n, m)%p;
- LL C(LL n, LL m, LL p)
- {
- if(m > n)return ;
- LL ans = ;
- for(int i=; i<=m; i++)
- {
- LL a = (n+i-m)%p;
- LL b = i%p;
- ans = ans*(a*quick_mod(b, p-, p)%p)%p;
- }
- return ans;
- }
- ///卢卡斯用于求C(n, m)%p;
- LL Lucas(LL n, LL m, LL p)
- {
- if(m == )return ;
- return C(n%p, m%p, p) * Lucas(n/p, m/p, p)%p;
- }
- ///扩展欧几里德 求ax+by = gcd(a, b)中的x和y
- void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
- {
- if(b == )
- {
- x = ;
- y = ;
- return;
- }
- ex_gcd(b, a%b, x, y);
- int t = x;
- x = y;
- y = t - a/b*y;
- if( a*b < )///当ab异号时;
- {
- x = -x;
- y = -y;
- }
- }
- ///已知 num%p[i]=r[i];求满足n个式子的最小num,其中p[i]是素数;
- LL China(int n, LL p[], LL r[])
- {
- LL m = , num = ;
- for(int i=; i<=n; i++)
- m *= p[i];
- for(int i=; i<=n; i++)
- {
- LL x, y, a = m/p[i], b = -p[i];
- ex_gcd(a, b, x, y);
- LL t = Mul(a, x, m);///Mul就是乘法,防止爆longlong;
- num = (num + Mul(t, r[i], m) + m) % m;
- }
- return (num+m)%m;
- }
- int main()
- {
- LL n, m;
- int k, T;
- scanf("%d", &T);
- while(T--)
- {
- LL p[], r[];
- scanf("%I64d %I64d %d", &n, &m, &k);
- for(int i=; i<=k; i++)
- {
- scanf("%I64d", &p[i]);
- r[i] = Lucas(n, m, p[i]);
- }
- printf("%I64d\n", China(k, p, r));
- }
- return ;
- }
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