Codeforces 989E A Trance of Nightfall 矩阵快速幂+DP

题意：二维平面上右一点集\(S\)，共\(n\)个元素，开始位于平面上任意点\(P\)，\(P\)不一定属于\(S\)，每次操作为选一条至少包含\(S\)中两个元素和当前位置\(P\)的直线，每条直线选取概率相同，同一直线上每个点\(Q \in S\) 选取概率相同，\(Q\)次询问 包含两个元素\(t,m\) 即点\(P\)到\(t\)共操作\(m\)次的最大概率

打了场\(CF\) 结果\(D\)题死活调不出来 只能一大早来补题了

可以想到记录\(f[i][j][k]\)表示从点\(i\)到点\(j\)走\(k\)步的概率 这个过程我们可以通过记录\(2^x\)的矩阵来存储

之后可以发现对于一个询问\(t,m\) 我们可以通过矩阵的转移得到走\(m-1\)步的答案 之所以不能直接走\(m\)步是因为第一步的点P不一定在\(S\)内 分析一下就可以发现 一条线\(l\)上的点的概率就\(\frac {\sum_{(i \in S)}probility[i]}{\sum_{(i \in S)}1}\) 对所有直线取个\(max\)就是答案了

复杂度 \(O((n + q) \cdot n^2 \cdot \log m)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
#define pa pair<int,int>
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define cl(x) memset(x,0,sizeof x)
#ifdef Devil_Gary
#define bug(x) cout<<(#x)<<" "<<(x)<<endl
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#else
#define bug(x)
#define debug(...)
#endif
const int INF = 0x7fffffff;
const int N=2e2+5;
/*
char *TT,*mo,but[(1<<15)+2];
#define getchar() ((TT==mo&&(mo=(TT=but)+fread(but,1,1<<15,stdin),TT==mo))?-1:*TT++)//*/
inline int read(){
    int x=0,rev=0,ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')rev=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return rev?-x:x;
}
int n,flg,x[N],y[N];
double ans,pro[N],tmp[N];
vector<vector<int> > lines;
struct matrix{
	double g[N][N];
	matrix operator * (const matrix&a){
		matrix c;cl(c.g);
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++)
				for(int k=0;k<n;k++)
				c.g[i][j]+=g[i][k]*a.g[k][j];
				return c;
	}
}f[15];
pa fix(pa a){
	if(a.fi==0) return mk(0,1);
	if(a.se==0) return mk(1,0);
	int d=__gcd(a.fi,a.se);
	a.fi/=d,a.se/=d;
	if(a.fi<0) a.fi*=-1,a.se*=-1;
	return a;
}
void add(int p){
	map<pa ,vector<int>>cnt;
	for(int i=0;i<n;i++) if(i!=p){
		int dx=x[i]-x[p],dy=y[i]-y[p];
		cnt[fix(mk(dx,dy))].pb(i);
	}
	int sz=cnt.size();
	for(auto u:cnt){
		u.se.pb(p),flg=1;
		for(auto v:u.se){
			f[0].g[p][v]+=1.0/u.se.size()/sz;
			if(v<p) flg=0;
		}
		if(flg) lines.pb(u.se);
	}
}
int main(){
#ifdef Devil_Gary
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	n=read();
	for(int i=0;i<n;i++) x[i]=read(),y[i]=read();
	for(int i=0;i<n;i++) add(i);
	for(int i=1;i<=14;i++)  f[i]=f[i-1]*f[i-1];
	for(int Q=read();Q;Q--){
		int t=read()-1,m=read()-1;
		for(int i=0;i<n;i++) pro[i]=0;pro[t]=1.0;
		for(int i=0;i<=14;i++){
			if(m&(1<<i)){
				for(int j=0;j<n;j++) tmp[j]=pro[j],pro[j]=0;
				for(int j=0;j<n;j++) for(int k=0;k<n;k++){
					pro[j]+=tmp[k]*f[i].g[j][k];
				}
			}
		}
		ans=0;
		for(auto line:lines){
			double temp=0;
			for(auto u:line) temp+=pro[u];
			ans=max(ans,temp/line.size());
		}
		printf("%.12lf\n",ans);
	}
}