正睿 2018 提高组十连测 Day4 T3 碳

记'1'为+1,'0'为-1;

可以发现

pre[i],suf[i]分别为前/后缀和

a[i]=max(pre[l.....i]);

b[i]=max(suf[i+1....r]);

ans=max(a[l]+b[l],a[l+1]+b[l+1],........a[r]+b[r]);

即ans=最大的不相交的(前缀和+后缀和)

证明：

首先下界是显然的，即不可能比这个答案更小。

至于上界， 可以大力分类讨论证明。

比如

假如存在一个后缀不合法

设ans=pre[l]+suf[r];

设这个不合法的后缀位置为k。

k>l时:

此时suf[r]显然可以在保证pre[l]不变的情况下找到一个更大的取值，矛盾。

k<l时:

此时有一个显然的结论是

t=sum[l+1..r-1]<=0

因为>0的话显然可以再保证pre[l]不变的情况下找到一个更大的suf[r]。

再设p=sum[k..l-1]，p+t显然大于0

显然这时答案不会超过pre[l]-p+suf[r]+p+t=pre[l]+suf[r]+t

因为t<=0，不会更优

得证

最后，用线段树维护即可

每一个节点保存对应区间的区间和，最大前缀，最大后缀，答案

#include<iostream>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define N 220000
#define eps 1e-7
#define inf 1e9+7
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
	char ch=0;
	int x=0,flag=1;
	while(!isdigit(ch)){ch=getchar();if(ch=='-')flag=-1;}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*flag;
}
struct tree
{
	int tot,pre,suf,ans;
}node[N*4];
tree operator+(tree a,tree b)
{
	tree ans;
	ans.tot=a.tot+b.tot;
	ans.pre=max(a.pre,b.pre+a.tot);
	ans.suf=max(b.suf,a.suf+b.tot);
	ans.ans=max(a.pre+b.suf,max(a.ans+b.tot,b.ans+a.tot));
	return ans;
}
char s[N];
struct Segment_Tree
{
	#define lson o<<1
	#define rson o<<1|1
	#define mid ((l+r)>>1)
	inline void pushup(int o)
	{
		node[o]=node[lson]+node[rson];
	}
	void build(int o,int l,int r)
	{
		if(l==r)
		{
			if(s[l-1]=='1')node[o]=(tree){1,1,1,1};
			else node[o]=(tree){-1,0,0,0};
			return;
		}
		build(lson,l,mid);
		build(rson,mid+1,r);
		pushup(o);
	}
	tree query(int o,int l,int r,int ql,int qr)
	{
		if(ql<=l&&r<=qr)return node[o];
		bool flag1=ql<=mid,flag2=qr>mid;
		if(flag1&&flag2)
		return query(lson,l,mid,ql,qr)+query(rson,mid+1,r,ql,qr);
		else
		{
			if(flag1)return query(lson,l,mid,ql,qr);
			if(flag2)return query(rson,mid+1,r,ql,qr);
		}
	}
}T;
int main()
{
	int n=read(),m=read(),i,l,r;
	scanf("%s",s);
	T.build(1,1,n);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		l=read();r=read();
		printf("%d\n",T.query(1,1,n,l,r).ans);
	}
	return 0;
}