LG2634 [国家集训队]聪聪可可

题意

题目描述

聪聪和可可是兄弟俩，他们俩经常为了一些琐事打起来，例如家中只剩下最后一根冰棍而两人都想吃、两个人都想玩儿电脑（可是他们家只有一台电脑）……遇到这种问题，一般情况下石头剪刀布就好了，可是他们已经玩儿腻了这种低智商的游戏。

他们的爸爸快被他们的争吵烦死了，所以他发明了一个新游戏：由爸爸在纸上画n个“点”，并用n-1条“边”把这n个“点”恰好连通（其实这就是一棵树）。并且每条“边”上都有一个数。接下来由聪聪和可可分别随即选一个点（当然他们选点时是看不到这棵树的），如果两个点之间所有边上数的和加起来恰好是3的倍数，则判聪聪赢，否则可可赢。

聪聪非常爱思考问题，在每次游戏后都会仔细研究这棵树，希望知道对于这张图自己的获胜概率是多少。现请你帮忙求出这个值以验证聪聪的答案是否正确。

输入输出格式

输入格式：

输入的第1行包含1个正整数n。后面n-1行，每行3个整数x、y、w，表示x号点和y号点之间有一条边，上面的数是w。

输出格式：

以即约分数形式输出这个概率（即“a/b”的形式，其中a和b必须互质。如果概率为1，输出“1/1”）。

输入输出样例

输入样例#1：
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5
1 2 1
1 3 2
1 4 1
2 5 3

输出样例#1：
复制

13/25

说明

【样例说明】

13组点对分别是(1,1) (2,2) (2,3) (2,5) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,3) (4,4) (5,2) (5,3) (5,5)。

【数据规模】

对于100%的数据，n<=20000。

给一棵树，求这棵树上任选两个点(注意可以相同)使得它们距离为3的倍数的概率。

分析

大众点分治

点分治每次求出到当前根距离除以3余0,1,2的点的数量\(t_0,t_1,t_2\)，然后答案就是\(t_0∗(t_0-1)+t_0+2∗t_1∗t_2\)。

这个公式是这么推出来的.

每一条长度余2 和长度为1 的路径,就可以被统计一次

又因为可以交换顺序 所以需要乘上2

然后就是 所有的距离模3 已经为0 的点可以组成的路径.

当然 直接到根结点距离为0 的需要单独拎出来.

概率就是总方案数除以\(n^2\)

时间复杂度\(O(n \log n)\)

小众树形DP

显然可以\(f[u,0/1/2]\)表示子树到根的距离模3等于0/1/2的点的个数，然后用卷积统计答案。时间复杂度\(O(n)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;
using namespace std;

co int N=2e4+1;
struct edge{int to,next,w;}a[N*2];
int n,head[N],cnt,root,sum,vis[N],sz[N],f[N],dep[N],t[3],ans;
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
void getroot(int u,int fa){
	sz[u]=1,f[u]=0;
	for(int e=head[u],v;e;e=a[e].next){
		if((v=a[e].to)==fa||vis[v]) continue;
		getroot(v,u),sz[u]+=sz[v],f[u]=max(f[u],sz[v]);
	}
	f[u]=max(f[u],sum-sz[u]);
	if(f[u]<f[root]) root=u;
}
void getdeep(int u,int fa){
	++t[dep[u]%3];
	for(int e=head[u],v;e;e=a[e].next){
		if((v=a[e].to)==fa||vis[v]) continue;
		dep[v]=dep[u]+a[e].w,getdeep(v,u);
	}
}
int calc(int u,int d0){
	dep[u]=d0,memset(t,0,sizeof t);
	getdeep(u,0);
	return t[0]*t[0]+2*t[1]*t[2];
}
void solve(int u){
	ans+=calc(u,0),vis[u]=1;
	for(int e=head[u],v;e;e=a[e].next){
		if(vis[v=a[e].to]) continue;
		ans-=calc(v,a[e].w);
		sum=sz[v],root=0,getroot(v,0);
		solve(root);
	}
}
int main(){
	read(n);
	for(int i=1,u,v,w;i<n;++i){
		read(u),read(v),read(w);
		a[++cnt]=(edge){v,head[u],w},head[u]=cnt;
		a[++cnt]=(edge){u,head[v],w},head[v]=cnt;
	}
	f[0]=sum=n,getroot(1,0);
	solve(root);
	int g=gcd(ans,n*n);
	printf("%d/%d\n",ans/g,n*n/g);
	return 0;
}