最大的矩形面积 Maximal Rectangle

2018-09-15 10:23:44

一、Largest Rectangle in Histogram

在求解最大的矩形面积之前，我们先讨论一条最大直方图面积的问题。

问题描述：

问题求解：

解法一、朴素解法，O(n ^ 2)。

解决的思路就是遍历一遍，如果当前的数比后一个数要小，那么当前的额数字肯定不可能是最大面积的右边界，遍历下一个数；

如果当前数比后一个大，那么假设当前的为右边界，向左进行遍历，计算面积最大值。

    public int largestRectangleArea(int[] heights) {
        if (heights.length == 0) return 0;
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < heights.length; i++) {
            if (i == heights.length - 1 || heights[i] > heights[i + 1]) {
                int minHeight = heights[i];
                for (int j = i; j >= 0; j--) {
                    minHeight = Math.min(heights[j], minHeight);
                    res = Math.max(res, minHeight * (i - j + 1));
                }
            }
        }
        return res;
    }

解法二、使用堆栈，时间复杂度O(n)。

如何更快的解决这个问题呢？这里需要从另一个角度来考虑这个问题，其实解法一也是一种类似DP的解法，它的核心思路就是固定最后一个数，来获得以当前数为结尾的最大矩形面积。其实还有另一个角度来思考，就是以每个数作为高度能获得的最大面积是多少？其实这个问题就是需要找当前数左右第一个比其低的数，然后就可以得出以当前数字为高度的最大矩形面积，最后我们只需要遍历比较一遍就可以得到最大的结果。

    public int largestRectangleArea(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] l = new int[n];
        int[] r = new int[n];
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            while (!stack.isEmpty() && nums[stack.peek()] >= nums[i]) stack.pop();
            l[i] = stack.isEmpty() ? 0 : stack.peek() + 1;
            stack.push(i);
        }
        stack.clear();
        for (int i = nums.length - 1; i >= 0; i--) {
            while (!stack.isEmpty() && nums[stack.peek()] >= nums[i]) stack.pop();
            r[i] = stack.isEmpty() ? nums.length - 1 : stack.peek() - 1;
            stack.push(i);
        }
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res = Math.max(res, nums[i] * (r[i] - l[i] + 1));
        }
        return res;
    }

二、Maximal Rectangle

问题描述：

问题求解：

有个上一个问题的铺垫，这个问题就很好解决了，针对每一行，可以先求出其高度，然后再对每一行求最大最方图的面积，取max即可。

使用一个height的二维数组进行高度的保存，可以将时间复杂度降到O(mn)。

    public int maximalRectangle(char[][] matrix) {
        if (matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) return 0;
        int m = matrix.length;
        int n = matrix[0].length;
        int[][] height = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) if (matrix[0][i] == '1') height[0][i] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 0;j < n; j++) {
                if (matrix[i][j] == '0') height[i][j] = 0;
                else height[i][j] = 1 + height[i - 1][j];
            }
        }
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            res = Math.max(res, helper(height[i]));
        }
        return res;
    }
 
    private int helper(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] l = new int[n];
        int[] r = new int[n];
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            while (!stack.isEmpty() && nums[stack.peek()] >= nums[i]) stack.pop();
            l[i] = stack.isEmpty() ? 0 : stack.peek() + 1;
            stack.push(i);
        }
        stack.clear();
        for (int i = nums.length - 1; i >= 0; i--) {
            while (!stack.isEmpty() && nums[stack.peek()] >= nums[i]) stack.pop();
            r[i] = stack.isEmpty() ? nums.length - 1 : stack.peek() - 1;
            stack.push(i);
        }
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res = Math.max(res, nums[i] * (r[i] - l[i] + 1));
        }
        return res;
    }