【板子】gcd、exgcd、乘法逆元、快速幂、快速乘、筛素数、快速求逆元、组合数
1.gcd
int gcd(int a,int b){
return b?gcd(b,a%b):a;
}
2.扩展gcd )extend great common divisor
ll exgcd(ll l,ll r,ll &x,ll &y)
{
if(r==){x=;y=;return l;}
else
{
ll d=exgcd(r,l%r,y,x);
y-=l/r*x;
return d;
}
}
3.求a关于m的乘法逆元
ll mod_inverse(ll a,ll m){
ll x,y;
if(exgcd(a,m,x,y)==)//ax+my=1
return (x%m+m)%m;
return -;//不存在
}
补充:求逆元还可以用$$ans = \frac{a}{b} \bmod m = (a \bmod (m\cdot b)) /b $$
4.快速幂quick power
ll qpow(ll a,ll b,ll m){
ll ans=;
ll k=a;
while(b){
if(b&)ans=ans*k%m;
k=k*k%m;
b>>=;
}
return ans;
}
5.快速乘,直接乘会爆ll时需要它,也叫二分乘法。
ll qmul(ll a,ll b,ll m){
ll ans=;
ll k=a;
ll f=;//f是用来存负号的
if(k<){f=-;k=-k;}
if(b<){f*=-;b=-b;}
while(b){
if(b&)
ans=(ans+k)%m;
k=(k+k)%m;
b>>=;
}
return ans*f;
}
6.中国剩余定理CRT (x=ai mod mi)
ll china(ll n, ll *a,ll *m) {
ll M=,y,x=,d;
for(ll i = ; i <= n; i++) M *= m[i];
for(ll i = ; i <= n; i++) {
ll w = M /m[i];
exgcd(m[i], w, d, y);//m[i]*d+w*y=1
x = (x + y*w*a[i]) % M;
}
return (x+M)%M;
}
7.筛素数,全局:int cnt,prime[N],p[N];
void isprime()
{
cnt = ;
memset(prime,true,sizeof(prime));
for(int i=; i<N; i++)
{
if(prime[i])
{
p[cnt++] = i;
for(int j=i+i; j<N; j+=i)
prime[j] = false;
}
}
}
8.快速计算逆元
补充:>>关于快速算逆元的递推式的证明<<
void inverse(){
inv[] = ;
for(int i=;i<N;i++)
{
if(i >= M) break;
inv[i] = (M-M/i)*inv[M%i]%M;
}
}
9.组合数取模
n和m 10^5时,预处理出逆元和阶乘
ll fac[N]={,},inv[N]={,},f[N]={,};
ll C(ll a,ll b){
if(b>a)return ;
return fac[a]*inv[b]%M*inv[a-b]%M;
}
void init(){//快速计算阶乘的逆元
for(int i=;i<N;i++){
fac[i]=fac[i-]*i%M;
f[i]=(M-M/i)*f[M%i]%M;
inv[i]=inv[i-]*f[i]%M;
}
}
n较大10^9,但是m较小10^5时,
ll C(ll n,ll m){
if(m>n)return ;
ll ans=;
for(int i=;i<=m;i++)
ans=ans*(n-i+)%M*qpow(i,M-,M)%M;
return ans;
}
n和m特别大10^18时但是p较小10^5时用lucas
10.Lucas大组合取模
#define N 100005
#define M 100007
ll n,m,fac[N]={};
ll C(ll n,ll m){
if(m>n)return ;
return fac[n]*qpow(fac[m],M-,M)%M*qpow(fac[n-m],M-,M)%M;//费马小定理求逆元
}
ll lucas(ll n,ll m){
if(!m)return ;
return(C(n%M,m%M)*lucas(n/M,m/M))%M;
}
void init(){
for(int i=;i<=M;i++)
fac[i]=fac[i-]*i%M;
}
to be continued...
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