[CSP-S模拟测试]:神炎皇（数学）

题目描述

　　神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。
　　对于一个整数对$(a,b)$，若满足$a+b\leqslant n$且$a+b$是$ab$的因子，则称为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？

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输入格式

一行一个整数$n$。

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输出格式

一行一个整数表示答案，保证不超过$64$位整数范围。

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样例

样例输入：

21

样例输出：

11

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数据范围与提示

对于$20\%$的数据，$n\leqslant 1000$；
对于$40\%$的数据，$n\leqslant 100000$；
对于$60\%$的数据，$n\leqslant 10000000$；
对于$80\%$的数据，$n\leqslant 1000000000000$；
对于$100\%$的数据，$n\leqslant 100000000000000$。

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题解

总是喜欢在考场上刚数学题，总是刚不出来，总是就差一步……

不妨设一个神奇的数对$(a,b)$，$d=gcd(a,b)$，$a'=\frac{a}{d}$，$b'=\frac{b}{d}$。

我们要满足$(a+b)|ab$（$|$为整除），也就是要满足$(a'+b')d|(a'b')d^2$

消去一个$d$，则我们可以得到$(a'+b')|(a'b')d$。

又$\because gcd(a',b')=1$，根据辗转相除法还可以得到$(a'+b',a')=(a'+b',b')=1$（手打$gcd$的方法），$\therefore gcd(a'+b',a'b')=1$。

也就是说$(a'+b')$一定不是$a'b'$的因子，那么其只能是$d$的因子，则条件转化为求$(a'+b')|d$。

不妨设$m=(a'+b'),d=km$，则$km^2\leqslant n$。

而$m$只用枚举到$\sqrt{n}$即可。

发现对于每一个$m$，$k$有$\left\lfloor\frac{n}{m^2}\right\rfloor$种不同的解。

接下来考虑$m$的内部情况，接着利用辗转相除法，可以得到其个数为$\phi(i)$，于是答案就是：

$$\sum \limits_{i=1}^n \phi(i)\left\lfloor\frac{n}{m^2}\right\rfloor$$

时间复杂度：$\Theta(\sqrt{n})$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n;
long long ans;
int phi[10000001],prime[10000001];
bool vis[10000001];
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	int sqr=sqrt(n);
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=sqr;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			vis[i]=1;
			prime[++prime[0]]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=sqr;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j])phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
			else{phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
		}
		ans+=1LL*phi[i]*(n/i/i);
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

---

rp++