学习笔记：插头DP
基于连通性的状压DP问题。
一般是给你一个网格，有一些连通性的限制。
例题
插头DP模板
题意：网格图，去掉一些点，求哈密顿回路方案数。
一般按格递推（从上到下，从左到右）。
每个格子要从四个方向中选两个作出边。
我们只需要记录红色的轮廓线的状态，是否有边伸出这个线（称之为插头）， 还要记录伸出来的边的连通性。
记录连通性的方法：
- 最小表示法
- 括号表示法（适用范围较小，效率一般更高）：出边是两两配对的（如果没有回来就有终点了）；并且出边不可能交叉（因为如果有交叉就经过重复点了）。咱们用三进制表示，\((\) 对应 \(1\)，\()\) 对应 \(2\)，没有边对应 \(0\)。看似最坏状态是 \(3 ^ {n + 1}\) 的，但要保证括号配对，所以大概有效状态会很少，因此不要以最坏复杂度来分析插头 DP，大概可以打个表式一下极限数据。
设 \(f_{i, j, s}\) 为考虑到 \(i, j\) 当前轮廓线状态是 \(S\) 的方案数。
分类讨论，设上状态为 \(y\)，左状态为 \(x\)：
- 如果 \((i, j)\) 是障碍物。需要 \(x = y = 0\)。状态不变。
- 否则，若 \(x = y = 0\)，则 \(x \gets 1, y \gets 1\)
- \(x = 0\)，\(y \not= 0\)，枚举一下 \(y\) 从下面和右边出去两种情况。
- \(x \not= 0\)，\(y = 0\)，同 3，向下或向右走。
- \(x = y = 1\)，必然要连起来，把右边配对的两个插头较左的 \(2\) 变成 \(1\)。（即 \(y\) 的配对变成 \(1\)）
- \(x = y = 2\)，同 5 ，把 \(x\) 对应的配对插头变成 \(2\)。
- \(x = 2, y = 1\)，把两个插头去掉赋 \(0\)。
- \(x = 1, y = 2\)，将整个回路封死，只能在整个格子的最后一个格子去封。（只会发生在最后一个格子）。
想要把代码变得美一点、短一点，大概是做到了吧...
这里没有用哈希表，把 \(42000\) 个状态先 dfs 出来，存到数组里，再预处理一下每个状态每对括号的匹配。
这样每次转移可以 \(O(1)\)，但是由于状态对应到编号我用的二分，所以复杂度是 \(O(n^2 S \log S)\)，其中 \(S\) 是总状态数大概是 \(S \le 42000\)。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 15, S = 42000;
int n, m, d[S], tot, w, c[N], p[S][N], now[N], top, s[N], L;
int ex, ey;
LL ans, f[2][S], h[S];
bool st[N][N];
char g[N][N];
int inline query(int x) { return lower_bound(d + 1, d + 1 + tot, x) - d; }
int inline ask(int x, int i) { return x >> (2 * i) & 3; }
int inline get(int i, int t) { return t << (2 * i); }
void inline add(int a, int b) { f[w][query(b)] += f[!w][a]; }
void inline work(int x) {
memset(now, -1, sizeof now); top = 0;
for (int i = 0; i < 2 * L; i += 2) {
int t = x >> i & 3;
if (t == 1) s[++top] = i >> 1;
else if (t == 2) now[s[top]] = i >> 1, now[i >> 1] = s[top--];
}
d[++tot] = x;
for (int i = 0; i < L; i++) p[tot][i] = now[i];
}
void dfs(int u, int s, int cnt) {
if (u == -1) { if (!cnt) work(s); return ; }
dfs(u - 1, s, cnt);
if (cnt) dfs(u - 1, s + get(u, 1), cnt - 1);
if (cnt + 1 <= u) dfs(u - 1, s + get(u, 2), cnt + 1);
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m); L = m + 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%s", g[i] + 1);
for (int j = 1; j <= m; j++)
if (g[i][j] == '.') st[i][j] = true, ex = i, ey = j;
}
dfs(L - 1, 0, 0);
f[0][1] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
memset(h, 0, sizeof h);
for (int j = 1; j <= tot; j++)
if (!ask(d[j], L - 1)) h[query(d[j] << 2)] += f[w][j];
memcpy(f[w], h, sizeof h);
for (int j = 1; j <= m; j++) {
w ^= 1; memset(f[w], 0, sizeof f[w]);
for (int u = 1; u <= tot; u++) {
if (!f[!w][u]) continue;
int x = ask(d[u], j - 1), y = ask(d[u], j);
if (!st[i][j]) {
if (!x && !y) add(u, d[u]);
} else if (!x && !y) add(u, d[u] + get(j - 1, 1) + get(j, 2));
else if (!x && y) add(u, d[u]), add(u, d[u] + get(j - 1, y) - get(j, y));
else if (x && !y) add(u, d[u]), add(u, d[u] - get(j - 1, x) + get(j, x));
else if (x == 1 && y == 1) add(u, d[u] - get(j - 1, x) - get(j, y) - get(p[u][j], 1));
else if (x == 2 && y == 2) add(u, d[u] - get(j - 1, x) - get(j, y) + get(p[u][j - 1], 1));
else if (x == 2 && y == 1) add(u, d[u] - get(j - 1, x) - get(j, y));
else if (x == 1 && y == 2 && i == ex && j == ey && d[u] - get(j - 1, 1) - get(j, 2) == 0) ans += f[!w][u];
}
}
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
HNOI2007 神奇游乐园
题意：有权网格图，求回路最大权值。
状态同上面，可以用括号序列维护（两两配对）。
转移稍有不同，每个封口都可以给 \(\text{ans}\) 贡献，另外上题的分类 1 可以考虑不选这个格子。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 105, M = 7, S = 42000, INF = 0xcfcfcfcf;
int n, m, a[N][M], d[S], tot, w, c[M], p[S][M], now[M], top, s[M], L;
int ans = -2e9, f[2][S], h[S];
int inline query(int x) { return lower_bound(d + 1, d + 1 + tot, x) - d; }
int inline ask(int x, int i) { return x >> (2 * i) & 3; }
int inline get(int i, int t) { return t << (2 * i); }
void inline add(int a, int b, int v) { f[w][query(b)] = max(f[w][query(b)], f[!w][a] + v); }
void inline work(int x) {
memset(now, -1, sizeof now); top = 0;
for (int i = 0; i < 2 * L; i += 2) {
int t = x >> i & 3;
if (t == 1) s[++top] = i >> 1;
else if (t == 2) now[s[top]] = i >> 1, now[i >> 1] = s[top--];
}
d[++tot] = x;
for (int i = 0; i < L; i++) p[tot][i] = now[i];
}
void dfs(int u, int s, int cnt) {
if (u == -1) { if (!cnt) work(s); return ; }
dfs(u - 1, s, cnt);
if (cnt) dfs(u - 1, s + get(u, 1), cnt - 1);
if (cnt + 1 <= u) dfs(u - 1, s + get(u, 2), cnt + 1);
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m); L = m + 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
scanf("%d", &a[i][j]);
dfs(L - 1, 0, 0);
memset(f, 0xcf, sizeof f);
f[0][1] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
memset(h, 0xcf, sizeof h);
for (int j = 1; j <= tot; j++)
if (!ask(d[j], L - 1)) h[query(d[j] << 2)] = max(h[query(d[j] << 2)], f[w][j]);
memcpy(f[w], h, sizeof h);
for (int j = 1; j <= m; j++) {
w ^= 1; memset(f[w], 0xcf, sizeof f[w]);
for (int u = 1; u <= tot; u++) {
if (f[!w][u] == INF) continue;
int x = ask(d[u], j - 1), y = ask(d[u], j);
if (!x && !y) add(u, d[u] + get(j - 1, 1) + get(j, 2), a[i][j]), add(u, d[u], 0);
else if (!x && y) add(u, d[u], a[i][j]), add(u, d[u] + get(j - 1, y) - get(j, y), a[i][j]);
else if (x && !y) add(u, d[u], a[i][j]), add(u, d[u] - get(j - 1, x) + get(j, x), a[i][j]);
else if (x == 1 && y == 1) add(u, d[u] - get(j - 1, x) - get(j, y) - get(p[u][j], 1), a[i][j]);
else if (x == 2 && y == 2) add(u, d[u] - get(j - 1, x) - get(j, y) + get(p[u][j - 1], 1), a[i][j]);
else if (x == 2 && y == 1) add(u, d[u] - get(j - 1, x) - get(j, y), a[i][j]);
else if (x == 1 && y == 2 && d[u] - get(j - 1, 1) - get(j, 2) == 0) ans = max(ans, f[!w][u] + a[i][j]);
}
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
SCOI2011 地板
题意：用 L 铺满网格图（有障碍物）的方案数。
不需要存连通性，要存每个插头有没有拐弯，三进制状态就可以。
选行列短的当列做，这样状态总数就是 \(\le 3 ^ {11}\) 的。
写了一次三进制，貌似蛮好写的，预处理出来 \(3\) 的幂次（也就是权），这样模拟位运算都是 \(O(1)\) 的。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 105, M = 12, S = 180000, P = 20110520;
int n, m, ex, ey, ans, Pow[M], f[2][S], w, h[S];
char g[N][N];
bool st[N][N];
int inline ask(int x, int i) { return x / Pow[i] % 3; }
int inline get(int i, int t) { return t * Pow[i]; }
void inline add(int a, int b) { (f[w][b] += f[!w][a]) %= P; }
void inline out(int x) {
for (int i = 0; i <= m; i++) {
cout << (x % 3);
x /= 3;
}
}
int main() {
Pow[0] = 1;
for (int i = 1; i < M; i++) Pow[i] = Pow[i - 1] * 3;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s", g[i] + 1);
if (m > n) {
for (int i = 1; i <= m; i++)
for (int j = 1; j < i; j++) swap(g[i][j], g[j][i]);
swap(m, n);
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
if (g[i][j] == '_') ex = i, ey = j, st[i][j] = true;
f[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
memset(h, 0, sizeof h);
for (int j = 0; j < Pow[m + 1]; j++)
if (!ask(j, m)) (h[j * 3] += f[w][j]) %= P;
memcpy(f[w], h, sizeof h);
for (int j = 1; j <= m; j++) {
w ^= 1, memset(f[w], 0, sizeof f[w]);
for (int u = 0; u < Pow[m + 1]; u++) {
if (!f[!w][u]) continue;
int x = ask(u, j - 1), y = ask(u, j);
if (!st[i][j]) {
if (!x && !y) add(u, u);
} else if (!x && !y) add(u, u + get(j - 1, 2) + get(j, 2)), add(u, u + get(j - 1, 1)), add(u, u + get(j, 1));
else if (x == 0 && y == 1) add(u, u + get(j, 1)), add(u, u - get(j, 1) + get(j - 1, 1));
else if (x == 0 && y == 2) {
add(u, u - get(j, 2) + get(j - 1, 2));
add(u, u - get(j, 2));
if (i == ex && j == ey && u - get(j, 2) == 0) (ans += f[!w][u]) %= P;
} else if (x == 1 && y == 0) add(u, u + get(j - 1, 1)), add(u, u - get(j - 1, 1) + get(j, 1));
else if (x == 1 && y == 1) {
add(u, u - get(j - 1, 1) - get(j, 1));
if (i == ex && j == ey && u - get(j - 1, 1) - get(j, 1) == 0) (ans += f[!w][u]) %= P;
} else if (x == 2 && y == 0) {
add(u, u - get(j - 1, 2) + get(j, 2));
add(u, u - get(j - 1, 2));
if (i == ex && j == ey && u - get(j - 1, 2) == 0) (ans += f[!w][u]) %= P;
}
}
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
学习笔记：插头DP的更多相关文章
- [学习笔记]插头dp
基于连通性的状压dp 巧妙之处:插头已经可以表示内部所有状态了. 就是讨论麻烦一些. 简介 转移方法:逐格转移,分类讨论 记录状态方法:最小表示法(每次要重新编号,对于一类没用“回路路径”之类的题,可 ...
- [学习笔记] 数位DP的dfs写法
跟着洛谷日报走,算法习题全都有! 嗯,没错,这次我也是看了洛谷日报的第84期才学会这种算法的,也感谢Mathison大佬,素不相识,却写了一长篇文章来帮助我学习这个算法. 算法思路: 感觉dfs版的数 ...
- [学习笔记]区间dp
区间 \(dp\) 1.[HAOI2008]玩具取名 \(f[l][r][W/I/N/G]\) 表示区间 \([l,r]\) 中能否压缩成 \(W/I/N/G\) \(Code\ Below:\) # ...
- [学习笔记]树形dp
最近几天学了一下树形\(dp\) 其实早就学过了 来提高一下打开树形\(dp\)的姿势. 1.没有上司的晚会 我的人生第一道树形\(dp\),其实就是两种情况: \(dp[i][1]\)表示第i个人来 ...
- 【学习笔记】dp基础
知识储备:dp入门. 好了,完成了dp入门,我们可以做一些稍微不是那么裸的题了. dp基础,主要是做题,只有练习才能彻底掌握. 洛谷P1417 烹调方案 分析:由于时间的先后会对结果有影响,所以c[i ...
- 【学习笔记】dp入门
知识点 动态规划(简称dp),可以说是各种程序设计中遇到的第一个坎吧,这篇博文是我对dp的一点点理解,希望可以帮助更多人dp入门. 先看看这段话 动态规划(dynamic programming) ...
- [学习笔记]动态dp
其实就过了模板. 感觉就是带修改的dp [模板]动态dp 给定一棵n个点的树,点带点权. 有m次操作,每次操作给定x,y表示修改点x的权值为y. 你需要在每次操作之后求出这棵树的最大权独立集的权值大小 ...
- [学习笔记]整体DP
问题: 有一些问题,通常见于二维的DP,另一维记录当前x的信息,但是这一维过大无法开下,O(nm)也无法通过. 但是如果发现,对于x,在第二维的一些区间内,取值都是相同的,并且这样的区间是有限个,就可 ...
- [BZOJ4011][HNOI2015] 落忆枫音(学习笔记) - 拓扑+DP
其实就是贴一下防止自己忘了,毕竟看了题解才做出来 Orz PoPoQQQ 原文链接 Description 背景太长了 给定一个DAG,和一对点(x, y), 在DAG中由x到y连一条有向边,求生成树 ...
- POJ3254Corn Fields （状态压缩or插头DP）
Description Farmer John has purchased a lush new rectangular pasture composed of M by N (1 ≤ M ≤ 12; ...
随机推荐
- git bash: error: RPC failed; result = 18, HTP code = 200B
git config --global http.postBuffer 2428800 如果还是失败,说明buffer不够大,继续增加buff git config --global http.pos ...
- ios、安卓前端兼容性1
2.input框聚焦,ios出现outline或者阴影,安卓显示正常 解决方法 input:focus{outline:none} input:{-webkit-appearance: none;} ...
- linux系统中 SElinux安全子系统
1.SElinux 是什么? SElinux(Security-Enhanced Linux)是美国国家安全局在linux开源社区的帮助下开发的一个强制访问控制(Mandatory Access Co ...
- [原题复现+审计][BUUCTF 2018]WEB Online Tool(escapeshellarg和escapeshellcmd使用不当导致rce)
简介 原题复现:https://github.com/glzjin/buuctf_2018_online_tool (环境php5.6.40) 考察知识点:escapeshellarg和escap ...
- 查看mongodb状态
netstat -ntlp|grep 27017
- 【建议收藏】阿里P7总结的Spring注解笔记，把组件注册讲的明明白白
环境搭建 注解的方式是通过配置类的方式来注入组件,注解注入要比XML注入的方式简单,注解注入也需要在前者的基础上,添加一个spring-context的包,也是实际开发中常用的方式. 准备所需Jar包 ...
- FL Studio中如何制作和混音警报声
警报声在当今的许多电影配乐中,或者电子音乐的环境fx中经常出现.为了使用这种尖刺的警示声音,我们除了自己录制已有的警报声以外,也可以使用FL Studio20中的合成器和混音插件来制作属于自己的警报声 ...
- 知识点：C语言进阶提高篇，自定义数据类型：枚举
一.枚举的概念 枚举是C语言中的一种基本数据类型,并不是构造类型,它可以用于声明一组常数.当一个变量有几个固定的可能取值时,可以将这个变量定义为枚举类型.比如,你可以用一个枚举类型的变量来表示季节,因 ...
- spring bean注册和实例化
1.左边3个接口定义了基本的Ioc容器的2.HierarchicalBeanFactory增加了getParentBeanFactory()具备了双亲Ioc的管理能力3.ConfigurableBea ...
- python中字符串的编码和解码
1. 常用的编码 ASCII:只能表示一些字母,数字和特殊的字符,占一个字节 GBK:国家简体中文字符集和繁体字符集,兼容ASCII,占两个字节 Unicode:能够表示全世界上所有的字符,Unico ...