题解 CF917D 【Stranger Trees】

生成树计数问题用矩阵树定理来考虑。

矩阵树定理求得的为\(\sum\limits_T\prod\limits_{e\in T}v_e\)，也就是所有生成树的边权积的和。

这题边是不带权的，应用矩阵树定理前，我们必须考虑给每条边赋上一个权值。

可以从多项式的角度来考虑解决生成树和给定树有\(k\)条边重复这一条件，将给定树的边边权赋为\(x\)，其余边赋为\(1\)，那么应用矩阵树定理后得到的多项式中第\(k\)次项\(x^k\)的系数即为恰好有\(k\)条边重复的方案数。

发现直接代入多项式来求行列式不太现实，那么可以先求得\(x\)在取\(1\)到\(n\)时行列式的值，然后就得到了\(n\)个方程，把原多项式的系数看作未知数，代入\(x\)得到的值来作为现在的系数，那么就可以通过高斯消元来求解了。

具体实现看代码吧。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 210
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    x=0;char c=getchar();bool flag=false;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    if(flag)x=-x;
}
ll n;
ll a[maxn][maxn],b[maxn][maxn],e[maxn][maxn];
ll inv(ll x)
{
    ll y=mod-2,ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
ll det()
{
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        ll p=inv(b[i][i]);
        for(int j=i+1;j<n;++j)
        {
            ll d=b[j][i]*p%mod;
            for(int k=i;k<n;++k)
                b[j][k]=(b[j][k]-b[i][k]*d%mod+mod)%mod;
        }
        ans=ans*b[i][i]%mod;
        if(!b[i][i]) return 0;
    }
    return ans;
}
void gauss()
{
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        ll d=inv(a[i][i]);
        for(int j=i;j<=n+1;++j) a[i][j]=a[i][j]*d%mod;
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
        {
            d=a[j][i];
            for(int k=i;k<=n+1;++k)
                a[j][k]=(a[j][k]-a[i][k]*d%mod+mod)%mod;
        }
    }
    for(int i=n;i;--i)
        for(int j=i-1;j;--j)
            a[j][n+1]=(a[j][n+1]-a[j][i]*a[i][n+1]%mod+mod)%mod;
}
int main()
{
    read(n);
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        int x,y;
        read(x),read(y);
        e[x][y]=e[y][x]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        a[i][1]=1;
        for(int j=2;j<=n;++j)
            a[i][j]=a[i][j-1]*i%mod;
    }
    for(int k=1;k<=n;++k)
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            b[i][i]=0;
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                if(i==j) continue;
                if(e[i][j]) b[i][j]=mod-k,b[i][i]+=k;
                else b[i][j]=mod-1,b[i][i]++;
            }
        }
        a[k][n+1]=det();
    }
    gauss();
    for(int i=1;i<=n;++i) printf("%lld ",a[i][n+1]);
    return 0;
}