LG4195 【模板】exBSGS

exBSGS

已知数\(a,p,b\)，求满足\(a^x≡b\ (\bmod p)\)的最小自然数\(x\)。

\(100\%\)的数据，\(a,p,b≤10^9\)。

_皎月半洒花的题解

其实本质上，当\(p\)不为素数时，我们无法进行朴素 BSGS 的原因是我们的欧拉定理\(a^{\varphi(p)} \equiv b(\bmod p)\) 只能处理\((a,p)=1\)的情况。那么我们知道，朴素的 BSGS 的关键在于，可以保证最小解是有界的——\(x\)一定在\([1,\varphi(p)]\)中。所以最后 BSGS 的复杂度才会是\(\Theta(\sqrt{\varphi(p)})\) 的——比如说比较常见的\(p\)是素数的情况下，时间复杂度为\(\Theta(p)\)。

那么也就是说，我们只需要进行一些操作，保证\((a,p)=1\)即可。

我们思考，对于同余式\(a^x\equiv b~(\bmod p)\)而言，我们先假定\((a,p)>1\)。而此时如果有\(((a,p), b)=1\)，那么说明此式只有可能在\(x=0,b=1\)的时候有解——这个结论是平凡的。因为假设我们把它展开成\(a\cdot a^{x-1} +kp=b\)的形式，必须要有\((a,p) ~|~ b\)的情况下，才能保证\(a^{x-1}\)和\(k\)都是整数。

那么对于\((a,p)>1\)且\((a,p)~|~b\)，我们令原式变成

\[ a^{x-1}\cdot \frac{a}{(a,p)} \equiv \frac{b}{(a,p)} (\bmod \frac{p}{(a,p)}) $$ 的样子，如果此时$(a^{x-1},\frac{p}{(a,p)})=1$ 的话，我们就直接解

$$ a^{x-1}\equiv \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} }(\bmod \frac{p}{(a,p)}) $$ 这个方程即可。否则我们继续分解直至$(p',a)=1$。

那么此时有个问题需要注意，就是如果们在解这个方程时，出现了

$$ (a^{x-1}, \frac{p}{(a,p)})\nmid \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} } $$ 的情况，那我们需要特判并`return -1` ；另一种情况，如果我们出现了

$$ a^{x-1}\equiv \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} } \equiv1(\bmod \frac{p}{(a,p)}) $$ 的情况，也需要特判并输出此$k$（此时同余式左边是$a^{x-k}$，因为$a^{x-k}\equiv1~(\bmod p)$所以直接输出$k$），不过也有可能不需要，完全看你写的 BSGS 能不能判断$x=0$的情况……一般情况下不能。

算法流程大体就是这些。有些需要注意的是，BSGS 有两种写法。我的这种写法是小步为$a^j$，大步为$a^{-im}b$。此时由于$p$不再是素数，所以不能用费马小定理，需要我们用exgcd的方法求逆元，包括但不限于$\frac{b}{(a,p)}$的逆元和$a^{-im}$。

```cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define co const
#define il inline
template<class T> T read(){
T x=0,w=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*w;
}
template<class T>il T read(T&x){
return x=read<T>();
}
using namespace std;
typedef long long LL;

unordered_map<LL,int> H;
int N,M,P,ans;

LL gcd(LL a,LL b){
if(!b) return a;
return gcd(b,a%b);
}
LL expow(LL a,LL b,LL mod){
LL res=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)
if(b&1) res=res*a%mod;
return res;
}
LL exgcd(LL&x,LL&y,LL a,LL b){
if(!b){
x=1,y=0;
return a;
}
LL t=exgcd(y,x,b,a%b);
y-=x*(a/b);
return t;
}
LL BSGS(LL a,LL b,LL mod,LL d){
H.clear();
LL Q,p=ceil(sqrt(mod)),x,y;
exgcd(x,y,d,mod),b=(b*x%mod+mod)%mod;
Q=expow(a,p,mod),exgcd(x,y,Q,mod),Q=(x%mod+mod)%mod;
for(LL i=1,j=0;j<=p;++j,i=i*a%mod)
if(!H.count(i)) H[i]=j;
for(LL i=b,j=0;j<=p;++j,i=i*Q%mod)
if(H.count(i)) return j*p+H[i];
return -1;
}
LL exBSGS(){
if(M==1) return 0;
LL d=1,k=0;
for(LL nd;(nd=gcd(N,P))>1;){
if(M%nd) return -1;
++k,M/=nd,P/=nd,d=d*(N/nd)%P;
if(d==M) return k;
}
LL ans;
return (ans=BSGS(N,M,P,d))==-1?-1:ans+k;
}
int main(){
while(read(N)|read(P)|read(M)){
N%=P,M%=P,ans=exBSGS();
if(ans<0) puts("No Solution");
else printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
```\]