题解-APIO2019路灯

problem

\(\mathtt {loj-3146}\)

题意概要：一条直线上有 \(n+1\) 个点和 \(n\) 条道路，每条道路连通相邻两个点。在 \(q\) 个时刻内，每个时刻有如下两种操作之一：

• 切换某条道路的状态，即：若原来是连通的，则现在断开；若原来断开，则现在连通
• 给出 \(x,y\)，询问在这次询问之前，有多少个时刻满足 \(a\rightarrow b\) 的道路连通（即这一段的道路都连通）

\(n,q\leq 3\times 10^5\)，时限 \(5s\)

Solution

切了前两题让我还以为今年apio能ak的说，这题没切主要是因为没有想到可以将若干段区间的和变为所有右端点的坐标减去所有左端点的坐标，之前一直在想如何计算修改对答案的贡献来着

在这题里，连接即一段存在区间的左端点，减去当前时刻 \(t\)，断开即一段区间的右端点，加上当前时刻 \(t\)。特别的，当一次询问时若他们之间连通，则需要再次强行加上当前时刻 \(t\)。

考虑切换道路 \((x,x+1)\)，找到 \(x\) 往左走的最远端 \(l\)，与 \(x+1\) 往右走的最远端 \(r\)，则这次切换的影响为：左端点在 \([l,x]\) 内，且右端点在 \([x+1,r]\) 内的所有区间。

放到平面上去就是一个矩形，而询问就是询问这个平面上的一个点。有时间、\(x\)、\(y\)共三维，用 \(CDQ+BIT\) 可做到 \(O(n\log^2n)\)。

Code

至于找到每个位置向左向右的最远点，用 \(set\) 维护一下所有的极长道路区间即可

//loj-3146
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lb(x) (x&(-x))

template <typename _tp> inline void read(_tp&x) {
	char ch=getchar();x=0;while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
}

const int N = 301000;
int n;

namespace WK {
	namespace BIT {
		int d[N];
		inline void add(int x, int v) {for(;x<=n;x+=lb(x)) d[x] += v;}
		inline int qry(int x) {int r=0;for(;x;x^=lb(x))r+=d[x];return r;}
	}

	struct node {
		int op, x, y, v;
	} q[N*4], b[N*4];
	int Ans[N], Qs, tot;

	void qwq(int l, int r) {
		if(l == r) return ;
		int m = l + r >> 1;
		qwq(l, m), qwq(m+1, r);
		int t0 = l, t1 = m + 1;
		int tt = l;
		while(t0 <= m or t1 <= r) {
			if((t0 <= m and t1 <= r and q[t0].x <= q[t1].x) or t1 > r) {
				if(q[t0].op == 0)
					BIT::add(q[t0].y, q[t0].v);
				b[tt++] = q[t0++];
			} else {
				if(q[t1].op == 1)
					Ans[q[t1].v] += BIT::qry(q[t1].y);
				b[tt++] = q[t1++];
			}
		}
		for(int i=l;i<=m;++i)
			if(q[i].op == 0)
				BIT::add(q[i].y, -q[i].v);
		for(int i=l;i<=r;++i)
			q[i] = b[i];
	}

	void work() {
		qwq(1, tot);
		for(int i=1;i<=Qs;++i)
			printf("%d\n", Ans[i]);
	}

	inline void add_modify(int x0, int x1, int y0, int y1, int v) {
		q[++tot] = (node) {0, x0, y0, +v};
		q[++tot] = (node) {0, x0, y1+1, -v};
		q[++tot] = (node) {0, x1+1, y0, -v};
		q[++tot] = (node) {0, x1+1, y1+1, +v};
	}
	inline void add_query(int x, int y, int vl) {
		q[++tot] = (node) {1, x, y, ++Qs};
		Ans[Qs] = vl;
	}
}

char str[N]; bool st[N];
int Q;

typedef pair<int,int> pii;
set <pii> c;
set <pii> :: iterator it, itr;
#define ins insert
#define ers erase

namespace BIT {
	int d[N];
	inline void add(int x, int v) {for(;x<=n;x+=lb(x)) d[x] += v;}
	inline int qry(int l, int r) {
		int res = 0;
		for(;l;l^=lb(l)) res -= d[l];
		for(;r;r^=lb(r)) res += d[r];
		return res;
	}
}

int main() {
	read(n), read(Q);
	scanf("%s", str+1);
	str[++n] = '0';
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		st[i] = str[i] == '1';
		if(st[i]) BIT::add(i+1, +1);
	}
	for(int i=1,j;(j=i)<=n;i=j+1) {
		while(j < n and st[j]) ++j;
		c.ins(pii(i, j));
	}

	char opt[7];
	int x, y;
	for(int i=1;i<=Q;++i) {
		scanf("%s", opt);
		if(opt[0] == 't') {
			read(x);
			if(st[x]) {
				itr = c.upper_bound(pii(x, n+1)), --itr;
				int l = itr->first, r = itr->second;
				WK::add_modify(l, x, x+1, r, +i);
				c.ers(itr), c.ins(pii(l, x)), c.ins(pii(x+1, r));
				BIT::add(x+1, -1);
				st[x] = false;
			} else {
				it = itr = c.upper_bound(pii(x, n+1)), --it;
				int l = it->first, r = itr->second;
				WK::add_modify(l, x, x+1, r, -i);
				c.ers(it), c.ers(itr), c.ins(pii(l, r));
				BIT::add(x+1, +1);
				st[x] = true;
			}
		} else {
			read(x), read(y);
			WK::add_query(x, y, BIT::qry(x, y) == y-x ? +i : 0);
		}
	}
	WK::work();
	return 0;
}