HDU 4986
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4986
题意:n个钥匙放在n个箱子里,每个钥匙和箱子一一对应,求打开所有箱子的期望
题解:
题意:
求随机排列的期望循环个数。 分析: 【引理 1】对于一个随机排列的某个元素,处在一个长度为 k 的循环中的概率为 1/n(与循环的长度无关)。 证明:
方法一:
考察某个元素处在长度为 k 的循环中的方案数,有:
C(k-1,n-1)(k-1)!(n-k)!=n-1 比上总的方案数得到概率。
(n-1)!/n!=1/n 方法二:
。。。
我们可以用第一题的方法,将每个排列写成 Cycle Notation,并将每个循环中最小的元素放在末尾。
那么每一个排列的 Cycle Notation 和另一个排列可以建立起一一对应。而 1 处在的循环中的长度等于它在排列中的位置,因此所有长度的概率都是 1n。 考虑 dp 。。设 e[n] 表示长度为 n 的排列的循环个数的期望。。我们枚举其中一个循环的长度。根据期望可加。。有。。。
e[n]=(Σi=1^n*e[n-i])/n
也就是 e[n] = H[n] (调和级数)
对于调和级数,可以较小项暴力,较大项时用 log() 近似。
调和级数的近似公式是ln(n+1)+r,r为欧拉常数,近似值是0.57721566490153286060651209
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std ; double dp[] ; int main()
{
dp[]=1.0 ;
for(int i= ;i<= ;i++)
dp[i]=dp[i-]+1.0/i ;
int n ;
while(~scanf("%d",&n))
{
if(n>)printf("%.4f\n",0.57721566490153286060651209+log(n+)) ;
else printf("%.4f\n",dp[n]) ;
}
return ;
}
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