【ZJOI2017 Round1练习&BZOJ5350】D5T1 masodik（DP，斜率优化）

题意：你要从(0,0)点走到(n,m)， 每次只能往 x 轴或者 y 轴正方向移动一个单位距离。
从(i,j)移动到(i,j+1)的代价为 ri,从(i,j)移动到(i+1,j)的代价为 cj。

求最小代价。

对于 20%的数据， n， m<=5000。
对于 100%的数据， n， m<=10^5,0<ri,ci<=10^8。

思路：杜教原题

• 建出r和c的下凸壳，每次走斜率大的那个。
• 证明？

• P q
• | |
• a--|-----|---
• b--|-----|---
• ra(q-p)+cp(a-b)<=rb(q-p)+cq(a-b)
• (ra-rb)(q-p)<=(cq-cp)(a-b)
• (ra-rb)/(a-b)<=(cq-cp)/(q-p)<=.......(more columns and
rows.
• 斜率?
• 每次走过路径斜率递增--->下凸
• 如何证明在下凸壳上?

下凸壳显然 假设当前是第x1行第y1列，下一个行和列是x2和y2，那么考虑是先沿行走还是先沿列走

先沿行走：r[x1]*(y2-y1)+c[y2]*(x2-x1)

先沿列走：r[x2]*(y2-y1)+c[y1]*(x2-x1)

r[x1]*(y2-y1)+c[y2]*(x2-x1)<r[x2]*(y2-y1)+c[y1]*(x2-x1)

(r[x2]-r[x1])/(x2-x1)>(c[y2]-c[y1])/(y2-y1)

于是先沿斜率大的走

 var x,y:array[..,..]of longint;
     q1,q2:array[..]of longint;
     r,c:array[..]of int64;
     n,m,i,j,l1,l2:longint;
     k1,k2:double;
     ans:int64;

 function slope(i,j,k:longint):double;
 begin
  exit((y[i,k]-y[j,k])/(x[i,k]-x[j,k]));
 end;

 function clac(x1,y1,x2,y2,k:longint):int64;
 begin
  if k= then exit(r[x1]*(y2-y1)+c[y2]*(x2-x1))
         else exit(c[y1]*(x2-x1)+r[x2]*(y2-y1));
 end;

 begin
  assign(input,'masodik.in'); reset(input);
  assign(output,'masodik.out'); rewrite(output);
  readln(n,m);
  for i:= to n do
  begin
   read(y[i,]); x[i,]:=i; r[i]:=y[i,];
  end;
  for i:= to m do
  begin
   read(y[i,]); x[i,]:=i; c[i]:=y[i,];
  end;
  for i:= to n do
  begin
   while (l1>)and(slope(i,q1[l1],)<=slope(q1[l1-],q1[l1],)) do dec(l1);
   inc(l1); q1[l1]:=i;
  end;
  for i:= to m do
  begin
   while (l2>)and(slope(i,q2[l2],)<=slope(q2[l2-],q2[l2],)) do dec(l2);
   inc(l2); q2[l2]:=i;
  end;
  i:=; j:=;
  while (i<l1)and(j<l2) do
  begin
   k1:=slope(q1[i],q1[i+],);
   k2:=slope(q2[j],q2[j+],);
   if k1>k2 then
   begin
    ans:=ans+clac(q1[i],q2[j],q1[i],q2[j+],);
    inc(j);
   end
   else
   begin
    ans:=ans+clac(q1[i],q2[j],q1[i+],q2[j],);
    inc(i);
   end;
  end;
  while i<l1 do
  begin
   ans:=ans+clac(q1[i],q2[l2],q1[i+],q2[l2],);
   inc(i);
  end;
  while j<l2 do
  begin
   ans:=ans+clac(q1[l1],q2[j],q1[l1],q2[j+],);
   inc(j);
  end;
  writeln(ans);

  close(input);
  close(output);
 end.