luogu2485 [SDOI2011]计算器 poj3243 Clever Y BSGS算法

BSGS 算法，即 Baby Step,Giant Step 算法、拔山盖世算法。

计算 \(a^x \equiv b \pmod p\)。

\(p\)为质数时

特判掉 \(a,p\) 不互质的情况。

由于费马小定理 \(x^{p-1} \equiv 1 \pmod p\) 当 \(p\) 为质数，则要是暴力的话只需要枚举到 \(p-1\) 即可。

假设 \(x=it-j\)，其中 \(t= \lceil \sqrt p \rceil,j \in [0,t]\)，方程变为 \(a^{it-j} \equiv b \pmod p\)，即 \(a^{it} \equiv ba^j \pmod p\)。我们惊喜地发现，左右最多也就 \(t\) 个左右种可能的取值（这就是 \(t\) 为什么取那个值的原因），那我们枚举 \(j\)，把 \(ba^j\) 所对应的 \(j\) 都存起来，然后枚举 \(i\) 找有无对应即可。

保存的话用手写 hash 比 map 快很多的。

若 \(ba^j\) 冲突怎么办？答：存 \(j\) 大的。因为要想 \(x\) 尽量小，就要让 \(j\) 尽量大。

第一个找到的 \(i\) 和它对应的 \(j\) 就是答案。为什么？答：因为 \(i\) 变化 \(1\)，\(x\) 变化的幅度是 \(t\)。

时间复杂度 \(\mathrm{O}(\sqrt{p})\)。

计算器：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T, k;
ll y, z, p;
map<int,int> d;
ll work1(ll a, ll b, ll p){
	ll re=1;
	while(b){
		if(b&1) re = (re * a) % p;
		a = (a * a) % p;
		b >>= 1;
	}
	return re;
}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
	if(!b){
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	ll re=exgcd(b, a%b, x, y);
	ll qwq=x;
	x = y;
	y = qwq - a / b * y;
	return re;
}
void work2(){
	ll u, v;
	ll gcd=exgcd(y, p, u, v);
	if(z%gcd)   printf("Orz, I cannot find x!\n");
	else
		printf("%lld\n", ((u*z/gcd)%(p/gcd)+(p/gcd))%(p/gcd));
}
void work3(){
	d.clear();
	int m=sqrt(p);
	if(m*m!=p)  m++;
	for(int i=0; i<=m; i++)
		d[int((z*work1(y, i, p))%p)] = i;//当然这里也可以换掉快速幂，因为递推顺便就能求幂了
	if(y%p==0){
		if(z%p==1)	printf("0\n");
		else if(z%p==0)	printf("1\n");
		else 	printf("Orz, I cannot find x!\n");
		return ;
	}
	for(int i=1; i<=m; i++){
		int tmp=work1(y, i*m, p);
		if(d.find(tmp)!=d.end()){
			printf("%lld\n", (ll)i*m-d[tmp]);
			return ;
		}
	}
	printf("Orz, I cannot find x!\n");
}
int main(){
	cin>>T>>k;
	while(T--){
		scanf("%lld %lld %lld", &y, &z, &p);
		if(k==1)    printf("%lld\n", work1(y, z, p));
		if(k==2)    work2();
		if(k==3)    work3();
	}
	return 0;
}

测试数据：

2 3
39 26 13
6 11 5

1
0

\(p\)无限制时

计算 \(a^x \equiv b \pmod p\)，最难过的事情就是 \((a,p) \not = 1\)。那我们就想办法消掉一些 \(p\) 的因子让 \(a,p\) 互素。记 \(d=(a,p)\)。

倘若 \(d \nmid b\)（不整除的语法是 \nmid），则 \(b=1\) 时方程有解，解为 \(x=0\)。

倘若 \(d \mid b\) 且 \(d=1\)，则就是普通的 bsgs。

否则，

\[a^x \equiv b \pmod p \Rightarrow \frac{a}{d} \times a^{x-1} \equiv \frac{b}{d} \pmod {\frac{p}{d}}
\]

当然，还有更难过的是 \((a,p/d)\) 可能还不为 \(1\)……那就继续搞下去，直到

\[\frac{a^k}{\prod_{i=1}^kd_i} \times a^{x-k} \equiv \frac{b}{\prod_{i=1}^kd_i} \pmod {\frac{p}{\prod_{i=1}^kd_i}}
\]

且 \((a,\frac{p}{\prod_{i=1}^kd_i})=1\)。

当然还有更更难过的是还没到互素的时候就有 \(\frac{p}{\prod_{i=1}^\kappa d_i} \nmid b\)……那唯一的可能就是 \(x=0\) 了。

然后发现如果真正的解 \(x<k\) 的话比较难过，那我们在累积公约数的时候可以顺便判断 \(x \in [0,k)\) 时是否是解。

对于 \(x \geq k\) 的情况，我们为了赏心悦目，把方程换元为

\[a' \times a^{x'} \equiv b' \pmod {p'}
\]

其中 \((a',p')=1\)。

这样就是一个普通的 bsgs。最终的解是 \(x=x'+k\)。

Clever Y:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int a, b, p;
const int mod=32767;//这不是质数，不好
int gcd(int a, int b){
	return !b?a:gcd(b,a%b);
}
int ksm(int a, int b, int p){
	int re=1;
	while(b){
		if(b&1)	re = ((ll)re * a) % p;
		a = ((ll)a * a) % p;
		b >>= 1;
	}
	return re;
}
struct HASHTABLE{
    int nxt[200005], dai[200005], ret[200005], hea[200005], hmn;
    void clear(){
        memset(nxt, 0, sizeof(nxt));
        memset(hea, 0, sizeof(hea));
        hmn = 0;
    }
    void insert(int x, int y){
        int tmp=x%mod;
        for(int i=hea[tmp]; i; i=nxt[i])
            if(dai[i]==x){
                ret[i] = y;
                return ;
            }
        nxt[++hmn] = hea[tmp];
        dai[hmn] = x; ret[hmn] = y;
        hea[tmp] = hmn;
    }
    int query(int x){
        int tmp=x%mod;
        for(int i=hea[tmp]; i; i=nxt[i])
            if(dai[i]==x)
                return ret[i];
        return -1;
    }
}hashTable;
int exbsgs(int a, int b, int p){
	hashTable.clear();
	a %= p; b %= p;
	if(b==1)	return 0;
	int cnt=0, d=1, g;
	do{
		g = gcd(a, p);
		if(b%g)	return -1;
		p /= g; b /= g;
		d = ((ll)d * a / g) % p;
		cnt++;
		if(b==d)	return cnt;
	}while(g!=1);
	int m=ceil(sqrt(p)), t=b;
	for(int i=0; i<=m; i++){
		hashTable.insert(t, i);
		t = ((ll)t * a) % p;
	}
	g = ksm(a, m, p);
	t = ((ll)d * g) % p;
	for(int i=1; i<=m; i++){
		int re=hashTable.query(t);
		if(re>=0)	return i*m-re+cnt;
		t = ((ll)t * g) % p;
	}
	return -1;
}
int main(){
	while(scanf("%d %d %d", &a, &p, &b)!=EOF){
		if(a+b+p==0)	break;
		int re=exbsgs(a, b, p);
		if(re==-1)	printf("No Solution\n");
		else	printf("%d\n", re);
	}
	return 0;
}