Codeforces #765D
我在这道题上花了2个小时,仍没解出。理一下当时的思路,看看症结到底在哪里。
题意
用 $[n]$ 表示集合 $\{1,2,3,\dots, n\}$ 。
3个函数
$f \colon [n] \to [n]$
$g \colon [n] \to [m]$
$h \colon [m] \to [n]$
满足下列两个性质
- $\forall x \in [m], g(h(x)) = x$
- $\forall x \in [n], h(g(x)) = f(x)$
给出 $f$ ,求 $g, h$ 。如有多解,任给一组。
分析
由性质1可知
- $g$ 是满射(surjective),$h$ 是单射(injective)
进而据性质2可知
- $g$ 和 $h$ 值域相同 $\Rightarrow$ $m$ 等于 $f$ 的不同函数值的个数。换言之,$h$ 是 $f$ 值域中元素的一个排列。
- $\forall x_1, x_2 \in [n], g(x_1) = g(x_2) \Leftrightarrow f(x_1) = f(x_2)$ 。换言之,$h$ 和 $f$ 相似。
至此可得有解的一个必要条件:
对于 $f$ 值域中的任意两不同元素 $y_1, y_2$,$f(y_1) \ne f(y_2)$ 。
遗憾的是,这个必要条件太弱了。
样例
2
2 1
满足条件,却是无解的。
思路到这里就断了。
现在回过头来想,问题的根源在于:
在 $f$ 满足上面推导出的必要条件的情况下,将 $h$ 任取为 $f$ 值域中元素的一个排列后,再求 $g$ 时,性质1和性质2仍可能互相矛盾。
那么是否需要枚举排列呢?
我没有认识到的是
不论如何求解 $g$ 和 $h$,是否有解只取决于 $f$ 本身。
所以应当进一步挖掘有解的必要条件甚至充要条件。
题解上的分析
$$
\left.
\begin{aligned}
g \circ h = \mathbf{1} \\
h \circ g = f
\end{aligned}
\right\}
\Longrightarrow
\begin{aligned}
f \circ f &= (h \circ g) \circ (h \circ g) \\
&= h \circ (g \circ h) \circ g \\
&= h \circ \mathbf{1} \circ g \\
&= h \circ g \\
&= f
\end{aligned}
$$
若 $f(x) = y$,则 $f(y)=f(f(x))=f(x)=y$ 。
即 $f$ 值域中的每个元素都是 $f$ 的不动点(fixed point)。(性质3)
这个必要条件比上面那个必要条件强得多。
下面证明
若 $f$ 满足性质3,则将 $h$ 取为 $f$ 值域中元素的任意排列,依据性质2求出的 $g$ 都满足性质1。
$g(x) = h^{-1}(f(x))$
$g(h(x)) = h^{-1}(f(h(x))) = h^{-1}(h(x)) = x$
Codeforces #765D的更多相关文章
- 【codeforces 765D】Artsem and Saunders
[题目链接]:http://codeforces.com/contest/765/problem/D [题意] 给你一个函数f(x); 要让你求2个函数g[x]和h[x],使得g[h[x]] = x对 ...
- python爬虫学习(5) —— 扒一下codeforces题面
上一次我们拿学校的URP做了个小小的demo.... 其实我们还可以把每个学生的证件照爬下来做成一个证件照校花校草评比 另外也可以写一个物理实验自动选课... 但是出于多种原因,,还是绕开这些敏感话题 ...
- 【Codeforces 738D】Sea Battle(贪心)
http://codeforces.com/contest/738/problem/D Galya is playing one-dimensional Sea Battle on a 1 × n g ...
- 【Codeforces 738C】Road to Cinema
http://codeforces.com/contest/738/problem/C Vasya is currently at a car rental service, and he wants ...
- 【Codeforces 738A】Interview with Oleg
http://codeforces.com/contest/738/problem/A Polycarp has interviewed Oleg and has written the interv ...
- CodeForces - 662A Gambling Nim
http://codeforces.com/problemset/problem/662/A 题目大意: 给定n(n <= 500000)张卡片,每张卡片的两个面都写有数字,每个面都有0.5的概 ...
- CodeForces - 274B Zero Tree
http://codeforces.com/problemset/problem/274/B 题目大意: 给定你一颗树,每个点上有权值. 现在你每次取出这颗树的一颗子树(即点集和边集均是原图的子集的连 ...
- CodeForces - 261B Maxim and Restaurant
http://codeforces.com/problemset/problem/261/B 题目大意:给定n个数a1-an(n<=50,ai<=50),随机打乱后,记Si=a1+a2+a ...
- CodeForces - 696B Puzzles
http://codeforces.com/problemset/problem/696/B 题目大意: 这是一颗有n个点的树,你从根开始游走,每当你第一次到达一个点时,把这个点的权记为(你已经到过不 ...
随机推荐
- codevs 2915 期末考试
时间限制: 1 s 空间限制: 16000 KB 题目等级 : 黄金 Gold 题目描述 Description 期末考试要来了,某同学正在努力复习. 他要复习N个知识点,每个知识点需要一定的知识 ...
- SQL Server2005的数据还原与备份具体步骤
一:备份数据库步骤 1. 第一步:在开始—>程序(P)—>MicrosoftSQLserver2005—>SQLServerManagementStudio(如下图) 2. 第二步: ...
- UVa 12219 Common Subexpression Elimination (stl,模拟,实现)
一般来说,把一颗子树离散成一个int,把一个结点的字符离散成一个int会方便处理 直接map离散.当然一个结点最多只有4个小写字母,也可以直接编码成一个27进制的整数,舍掉0,为了区分0和0000. ...
- mask rcnn和roi-align
faster-rcnn的github源码中是round四舍五入 但kaiming he的ppt是直接取整 1.讲roi-align和roi-pooling区别并且详细阐述roi-align过程的博客: ...
- 爬虫5_python2_使用 Beautiful Soup 解析数据
使用 Beautiful Soup 解析数据(感谢东哥) 有的小伙伴们对写正则表达式的写法用得不熟练,没关系,我们还有一个更强大的工具,叫Beautiful Soup,有了它我们可以很方便地提取出HT ...
- visual c++ build tools的安装与使用
https://visualstudio.microsoft.com/zh-hans/thank-you-downloading-visual-studio/?sku=BuildTools&r ...
- 洛谷 P3958 奶酪
谨以此题来纪念我爆炸的NOIp2017 这个题虽然很多人说是并查集,但是搜索也是毫无压力的,考场搜索细节写挂,爆了个不上不下的80分.今天无意看到这道题,终于AC 首先这道题要考虑一下精度问题,虽然出 ...
- javascript的trigger事件
<html> <head> <script type="text/javascript" src="/jquery/jquery.js&qu ...
- bootstrap历练实例:按钮作为输入框组前缀或后缀
<!DOCTYPE html><html><head><meta http-equiv="Content-Type" content=&q ...
- Lucene原理与代码分析
http://www.cnblogs.com/forfuture1978/category/300665.html