Codeforces #765D

我在这道题上花了2个小时，仍没解出。理一下当时的思路，看看症结到底在哪里。

题意

用 $[n]$ 表示集合 $\{1,2,3,\dots, n\}$ 。

3个函数

$f \colon [n] \to [n]$

$g \colon [n] \to [m]$

$h \colon [m] \to [n]$

满足下列两个性质

1. $\forall x \in [m], g(h(x)) = x$
2. $\forall x \in [n], h(g(x)) = f(x)$

给出 $f$ ，求 $g, h$ 。如有多解，任给一组。

分析

由性质1可知

• $g$ 是满射（surjective），$h$ 是单射（injective）

进而据性质2可知

• $g$ 和 $h$ 值域相同 $\Rightarrow$ $m$ 等于 $f$ 的不同函数值的个数。换言之，$h$ 是 $f$ 值域中元素的一个排列。
• $\forall x_1, x_2 \in [n], g(x_1) = g(x_2) \Leftrightarrow f(x_1) = f(x_2)$ 。换言之，$h$ 和 $f$ 相似。

至此可得有解的一个必要条件：

对于 $f$ 值域中的任意两不同元素 $y_1, y_2$，$f(y_1) \ne f(y_2)$ 。

遗憾的是，这个必要条件太弱了。

样例

2
2 1

满足条件，却是无解的。

思路到这里就断了。

现在回过头来想，问题的根源在于：

在 $f$ 满足上面推导出的必要条件的情况下，将 $h$ 任取为 $f$ 值域中元素的一个排列后，再求 $g$ 时，性质1和性质2仍可能互相矛盾。

那么是否需要枚举排列呢？

我没有认识到的是

不论如何求解 $g$ 和 $h$，是否有解只取决于 $f$ 本身。

所以应当进一步挖掘有解的必要条件甚至充要条件。

题解上的分析

$$

\left.

\begin{aligned}

g \circ h = \mathbf{1} \\

h \circ g = f

\end{aligned}

\right\}

\Longrightarrow

\begin{aligned}

f \circ f &= (h \circ g) \circ (h \circ g) \\

&= h \circ (g \circ h) \circ g \\

&= h \circ \mathbf{1} \circ g \\

&= h \circ g \\

&= f

\end{aligned}

$$

若 $f(x) = y$，则 $f(y)=f(f(x))=f(x)=y$ 。

即 $f$ 值域中的每个元素都是 $f$ 的不动点（fixed point）。（性质3）

这个必要条件比上面那个必要条件强得多。

下面证明

若 $f$ 满足性质3，则将 $h$ 取为 $f$ 值域中元素的任意排列，依据性质2求出的 $g$ 都满足性质1。

$g(x) = h^{-1}(f(x))$

$g(h(x)) = h^{-1}(f(h(x))) = h^{-1}(h(x)) = x$