洛谷P3773 [CTSC2017]吉夫特(Lucas定理,dp)

题意

满足$b_1 < b_2 < \dots < b_k$且$a_{b_1} \geqslant a_{b_2} \geqslant \dots \geqslant a_{b_k}$

Sol

组合数取模？

肯定考虑Lucas定理

考虑Lucas定理在最后一步肯定会化为$C(1, 1), C(1, 0), C(0, 0), C(0, 1)$。

很显然$C(0,1)$不存在，而其他的都等于$1$，因此当最后分解为$C(0, 1)$的时候不满足条件。

具体怎么判断呢？观察上式可以得到一个普遍的规律：若$C(x, y) \{x = 0, 1 \ y=0,1 \}$，则$x\&y = y$

根据Lucas定理，显然我们可以把这个公式推广开来。

若$C(n,m)$为奇数，则$n \& m = m$

有了这个定理，我们就可以dp了。直接枚举子集就好。

时间复杂度：

枚举子集的复杂度是$O(3^n)$的，在此题中我们需要枚举二进制位，

因此复杂度为$3^{max log233333}$

#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod = ;
LL f[], N, ans = ;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(); cin.tie();
    cin >> N;
    for(int i = ; i <= N; i++) {
        int x; cin >> x;
        for(int j = x; j <= ; j = j +  | x)
            (f[x] += f[j]) %= mod;
        (ans += f[x]) %= mod;
        f[x]++;
    }
    cout << ans;
    return ;
}