题目大意

  求\(f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i2^j\times j!\times S(i,j)\\\)

  对\(998244353\)取模

  

  \(n\leq 100000\)。

题解

\[\begin{align}
S(n,k)&=\frac1{k!}\sum_{i=0}^k{(-1)}^i\binom{k}{i}{(k-i)}^n\\
&=\frac1{k!}\sum_{i=0}^k{(-1)}^i\frac{k!}{i!(k-i)!}(k-i)^n\\
&=\sum_{i=0}^k\frac{{(-1)}^i}{i!}\frac{{(k-i)}^n}{(k-i)!}
\end{align}
\]

  因为\(S(i,j)=0~(i<j)\),所以

\[\begin{align}
f(n)&=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n2^j\times j!\times S(i,j)\\
&=\sum_{j=0}^n2^j\times j!\times\sum_{i=0}^nS(i,j)\\
&=\sum_{j=0}^n2^j\times j!\times\sum_{i=0}^n\sum_{l=0}^j\frac{{(-1)}^i}{l!}\frac{{(j-l)}^i}{(j-l)!}\\
&=\sum_{j=0}^n2^j\times j!\times\sum_{l=0}^j\frac{{(-1)}^i}{l!}\sum_{i=0}^n\frac{{(j-l)}^i}{(j-l)!}
\end{align}
\]

  设

\[A(x)=\frac{{(-1)}^i}{i!},B(x)=\sum_{i=0}^n\frac{x^i}{x!}
\]

  所以

\[B(x)=\frac{x^{n+1}-1}{x!(x-1)}
\]

\[f(n)=\sum_{j=0}^n2^j\times j!\times \sum_{i=0}^jA(i)B(j-i)
\]

  直接上NTT

  时间复杂度:\(O(n\log n)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
ll p=998244353;
ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
while(b)
{
if(b&1)
s=s*a%p;
a=a*a%p;
b>>=1;
}
return s;
}
namespace ntt
{
ll w1[1000010];
ll w2[1000010];
int rev[1000010];
int n;
void init()
{
n=262144;
int i;
for(i=2;i<=n;i<<=1)
{
w1[i]=fp(3,(p-1)/i);
w2[i]=fp(w1[i],p-2);
}
rev[0]=0;
for(i=1;i<n;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
}
void ntt(ll *a,int t)
{
int i,j,k;
ll w,wn,u,v;
for(i=0;i<n;i++)
if(rev[i]<i)
swap(a[i],a[rev[i]]);
for(i=2;i<=n;i<<=1)
{
wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);
for(j=0;j<n;j+=i)
{
w=1;
for(k=j;k<j+i/2;k++)
{
u=a[k];
v=a[k+i/2]*w%p;
a[k]=(u+v)%p;
a[k+i/2]=(u-v+p)%p;
w=w*wn%p;
}
}
}
if(t==-1)
{
ll inv=fp(n,p-2);
for(i=0;i<n;i++)
a[i]=a[i]*inv%p;
}
}
};
ll a[500010];
ll b[500010];
ll fac[200010];
int main()
{
ntt::init();
int n;
scanf("%d",&n);
int i;
fac[0]=1;
for(i=1;i<=n;i++)
fac[i]=fac[i-1]*i%p;
a[0]=1;
for(i=1;i<=n;i++)
a[i]=(((i&1?-1:1)*fp(fac[i],p-2))%p+p)%p;
b[0]=1;
b[1]=n+1;
for(i=2;i<=n;i++)
b[i]=((fp(i,n+1)-1)*fp(fac[i]*(i-1)%p,p-2)%p+p)%p;
ntt::ntt(a,1);
ntt::ntt(b,1);
for(i=0;i<ntt::n;i++)
a[i]=a[i]*b[i]%p;
ntt::ntt(a,-1);
ll ans=0;
for(i=0;i<=n;i++)
ans=(ans+fp(2,i)*fac[i]%p*a[i]%p)%p;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

【BZOJ4555】【TJOI2016】【HEOI2016】求和 第二类斯特林数 NTT的更多相关文章

  1. bzoj 4555 [Tjoi2016&Heoi2016] 求和 —— 第二类斯特林数+NTT

    题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4555 关于第二类斯特林数:https://www.cnblogs.com/Wuweizhen ...

  2. BZOJ 4555:[TJOI2016&HEOI2016]求和(第二类斯特林数+NTT)

    题目链接 \(Description\) 求 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)2^jj!\]对998244353取模后的结果. \(n<=10^5\) \(Sol ...

  3. BZOJ4555 [Tjoi2016&Heoi2016]求和 【第二类斯特林数 + NTT】

    题目 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: S(i, j)表示第二类斯特林数,递推公式为: S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + ...

  4. 【BZOJ4555】【TJOI2016】【HEOI2016】求和 (第二类斯特林数+NTT卷积)

    Description 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: $$f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i S(i,j)\tim ...

  5. P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和(第二类斯特林数+NTT)

    传送门 首先,因为在\(j>i\)的时候有\(S(i,j)=0\),所以原式可以写成\[Ans=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)\times 2^j\times j! ...

  6. BZOJ5093 [Lydsy1711月赛]图的价值 【第二类斯特林数 + NTT】

    题目链接 BZOJ5093 题解 点之间是没有区别的,所以我们可以计算出一个点的所有贡献,然后乘上\(n\) 一个点可能向剩余的\(n - 1\)个点连边,那么就有 \[ans = 2^{{n - 1 ...

  7. bzoj 5093 图的价值 —— 第二类斯特林数+NTT

    题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5093 每个点都是等价的,从点的贡献来看,得到式子: \( ans = n * \sum\li ...

  8. bzoj5093:图的价值(第二类斯特林数+NTT)

    传送门 首先,题目所求为\[n\times 2^{C_{n-1}^2}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 即对于每个点\(i\),枚举它的度数,然后计算方案.因为有\(n\) ...

  9. BZOJ 5093: [Lydsy1711月赛]图的价值 第二类斯特林数+NTT

    定义有向图的价值为图中每一个点的度数的 \(k\) 次方之和. 求:对于 \(n\) 个点的无向图所有可能情况的图的价值之和. 遇到这种题,八成是每个点单独算贡献,然后累加起来. 我们可以枚举一个点的 ...

随机推荐

  1. Vue基础(ES6)

      起步 1.扎实的HTML/CSS/Javascript基本功,这是前置条件. 2.不要用任何的构建项目工具,只用最简单的<script>,把教程里的例子模仿一遍,理解用法.不推荐上来就 ...

  2. 福州大学软件工程1816 | W班 第7次作业成绩排名

    写在前面 汇总成绩排名链接 1.作业链接 第七次作业--项目需求分析(团队) 2.评分准则 本次作业映射总分为100分+贡献度得分,由以下部分组成: 引言(5 points) . 用户场景(15 po ...

  3. Python3练习题求1000以内所有3和5的倍数的总和

    sum = 0 for i in range(1,1000):     if i%3 == 0 or i%5 == 0:         sum += i print(sum)

  4. Yii2几个要注意的小地方

    本人新手, 刚接触Yii, 记录下遇到的坑, 大神请绕道/ 1. //插入数据到数据库, 需要 new 一下,设置属性: $info = new BasicInfo(); $info -> se ...

  5. Azure系列2.1 —— com.microsoft.azure.storage.blob

    网上azure的资料较少,尤其是API,全是英文的,中文资料更是少之又少.这次由于公司项目需要使用Azure,所以对Azure的一些学习心得做下笔记,文中不正确地方请大家指正. Azure Blob ...

  6. 如何在TypeScript中使用第三方JavaScript框架

    一.安装typings 使用npm全局安装typings :npm install -g typings 安装成功. 二,搜索资源,支持模糊搜索:typings search base64 三.安装t ...

  7. mysql第一天【mysqldump导出数据和mysql导入数据】

    1.使用mysqldump导出数据到本地sql文件 在mysql>bin下执行: 例如: mysqldump -hrm-2ze8mpi5i65429l1qvo.mysql.rds.aliyunc ...

  8. python数据结构与算法第四天【代码执行时间测试模块】

    #!/usr/bin/env python # _*_ coding:UTF-8 _*_ from timeit import Timer def foo(): ''' 使用append方式向列表添加 ...

  9. php配置-解决大数据超多字段的POST方式提交无法完全接受的问题

    例如:在盘点表的数据提交中出现了POST大量数据超多字段的将近2000个字段,部分字段没有接受:修改方法为修改php.ini 将max_input_var调大,该值默认为1000 max_input_ ...

  10. Navicat软件安装

    Navicat_10.1.7永久注册码 NAVH-WK6A-DMVK-DKW3