Codeforces 833D Red-Black Cobweb [点分治]

洛谷

Codeforces

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思路

看到树上路径的统计，容易想到点分治。

虽然只有一个限制，但这个限制比较麻烦，我们把它拆成两个。

设黑边有\(a\)条，白边有\(b\)条，那么有

\[2a\geq b\\
2b\geq a
\]

合并两条边时，设原有的是\((a,b)\)，要加入的是\((A,B)\)，那么有

\[2(a+A)\geq b+B \Leftrightarrow 2A-B\geq b-2a\\
2(b+B)\geq a+A \Leftrightarrow 2B-A\geq a-2b \Leftrightarrow A-2B\leq 2b-a
\]

但现在有两个限制，似乎还要CDQ分治，非常麻烦。

注意到一个性质：只要不满足第一条，必然满足第二条，反之亦然。

那么可以用两个树状数组维护前缀积，每次用满足第一条的除以不满足第二条的即可。

复杂度\(O(n\log ^2 n)\)？\(O(n\log ^3 n)\)？反正比那些CDQ分治的要快就对了。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pii pair<int,int>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define templ template<typename T>
    #define sz 101100
    #define mod 1000000007ll
    typedef long long ll;
    typedef double db;
    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
    templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
    templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
    templ inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__Z=0;
    inline void __Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
    	if (__C>1<<20) __Ot(); if (x<0) __sr[++__C]='-',x=-x;
    	while (__z[++__Z]=x%10+48,x/=10);
    	while (__sr[++__C]=__z[__Z],--__Z);__sr[++__C]='\n';
    }
    void file()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.in","r",stdin);
        #endif
    }
    inline void chktime()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
        #endif
    }
    #ifdef mod
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
    #else
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
    #endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n;
struct hh{int t;ll w;int nxt;int col;}edge[sz<<1];
int head[sz],ecnt;
void make_edge(int f,int t,ll w,int col)
{
	edge[++ecnt]=(hh){t,w,head[f],col};
	head[f]=ecnt;
	edge[++ecnt]=(hh){f,w,head[t],col};
	head[t]=ecnt;
}

int T;
struct BIT
{
	ll prod[sz<<2];
	int size[sz<<2];
	int mark[sz<<2];
	void mul(int x,ll w)
	{
		x+=n*2;
		while (x<=n*4)
		{
			if (mark[x]!=T) size[x]=0,prod[x]=1;
			++size[x],prod[x]=prod[x]*w%mod;mark[x]=T;
			x+=(x&(-x));
		}
	}
	void query(int x,ll &w1,int &w2)
	{
		w1=1,w2=0;x+=n*2;
		while (x)
		{
			if (mark[x]==T) w1=w1*prod[x]%mod,w2+=size[x];
			x-=(x&(-x));
		}
	}
}T1,T2;

ll ans=1;
#define v edge[i].t
bool vis[sz];
int size[sz],mn,root,tot;
void findroot(int x,int fa)
{
	size[x]=1;
	int S=-1;
	go(x) if (v!=fa&&!vis[v])
	{
		findroot(v,x);
		size[x]+=size[v];
		chkmax(S,size[v]);
	}
	chkmax(S,tot-size[x]);
	if (chkmin(mn,S)) root=x;
}
struct hhh{int aa,bb;ll w;};
hhh s[sz];int cnt;
void dfs(int x,int fa,int a,int b,ll w)
{
	s[++cnt]=(hhh){2*a-b,2*b-a,w};
	go(x) if (v!=fa&&!vis[v])
	{
		if (edge[i].col) dfs(v,x,a,b+1,w*edge[i].w%mod);
		else dfs(v,x,a+1,b,w*edge[i].w%mod);
	}
}
void calc(int x)
{
	++T;T1.mul(0,1);T2.mul(0,1);
	go(x) if (!vis[v])
	{
		cnt=0;
		if (edge[i].col) dfs(v,0,0,1,edge[i].w);
		else dfs(v,0,1,0,edge[i].w);
		rep(i,1,cnt)
		{
			ll w1;int w2;
			T1.query(s[i].aa,w1,w2);
			ans=ans*w1%mod*ksm(s[i].w,w2)%mod;
			T2.query(-s[i].bb-1,w1,w2);
			ans=ans*inv(w1*ksm(s[i].w,w2)%mod)%mod;
		}
		rep(i,1,cnt) T1.mul(-s[i].aa,s[i].w),T2.mul(s[i].bb,s[i].w);
	}
}
void solve(int x)
{
	vis[x]=1;
	calc(x);
	int all=tot;
	go(x) if (!vis[v])
	{
		tot=size[v];if (size[v]>size[x]) tot=all-size[x];mn=1e9;
		findroot(v,0);
		solve(root);
	}
}
#undef v

int main()
{
	file();
	int x,y,z,c;
	read(n);
	rep(i,1,n-1) read(x,y,z,c),make_edge(x,y,z,c);
	tot=n;mn=1e9;findroot(1,0);
	solve(root);
	cout<<ans;
	return 0;
}