Baby-Step-Giant-Step 很酷的算法

Baby-Step-Giant-Step

BSGS算法用于解决形如:      A  ^  x  ≡  B  (  mod  C  ) 的问题。

　  学这个算法前需要具备以下知识：快速幂取模、扩展欧几里得、同余知识、哈希表(也可以用map，不过更耗时)..　

　　一．     普通的Baby-Step-Giant-Step

　　　　对于普通的BSGS，使用时有个限制条件就是：C只能是一个素数。当C 不是素数的时候，便要用到扩展BSGS，我们先来看普通的…

　　　　做法：首先令 x = a * m + b ;  m = ceil ( sqrt ( C ) ) ;  [ceil: 上取整] 0 <= a < m , 0 <= b < m ;

　　　　Then 原式等价于 ( ( A ^ a ) ^ m ) * A ^ b ≡ B (mod C );

　　　　Then 我们枚举a ，从0 到 m ，对每个a ,算出 A^a ，放到哈希表或map里(用哈希更高效…这里先用map) ,如 h=A^a; mp[h]=a;然后我们用 D 来表示 ( ( A ^ a ) ^ m ) ，用Y来表示 A^B 原式便可化为 : D * Y ≡ B (mod C);

　　　　Then 我们再次枚举 a 从 0 到 m ，可以逐个算出 D 的值，在有了D值得基础上，运用扩展欧几里得可以算出 Y ，现在查找原本记录的表，查看这个Y 值是否存在，如果存在便可返回 a^m + b ;

　　　　如果找完0 到 m ，依然没有发现可行的解，表示无解，退出。

　　　　

 #include<stdio.h>
 #include<math.h>
 #include<map>
 using namespace std;
 /*
   Baby-Step-Giant-Step:   用于解决形如: A^x = B (mod C) 的问题
   <><> 普通的解法只能解决C是素数的情况
   首先，令 x= a*m + b ; -- m= Ceil(sqrt(c));  --  Ceil 表示上取整
   then 原式等价于 ( (A^a )^m )*(A^b)=B (mod c);
   then 那么我们可以枚举 a: 0-m ,记录到 (a,A^a) ，用H 来表示: (A^a)^m ;
   那么 原式等价于 H * A^b = B (mod c) ;
   then 求出 A^m ; 枚举 a: 0-m ，对于每个值判断有没有 A^b 存在，如果有便退出...
 */
 // 这个代码不敢保证正确无误，因为没有找到题来A，不过思路应该是没错
 //了解了普通的BSGS，可以去看下面那份代码，注释得比较详细...
 #define EPS 0.0000001
 typedef long long LL;
 LL pow(LL a,LL b,LL c)    //快速幂取模
 {
   LL ans=;
   while(b>)
   {
     if(b&)
     {
       ans=ans*a%c;
     }
     a=a*a%c;
     b>>=;
   }
   return ans;
 }
 void exGcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
 {
   if(b==)
   {
     d=a;
     x=;
     y=;
     return ;
   }
   exGcd(b,a%b,d,x,y);
   LL t=x;
   x=y;
   y=t-a/b*y;
 }
 LL BSGS(LL A,LL B,LL C)
 {
   map<LL,int> mp;
   // LL m=(LL)ceil(sqrt(C));  据英明神武的某朱说Gcc不支持这个ceil
   LL m=(LL)(sqrt(C)+-EPS);
   for(int i=m-;i>=;i--)
   {
     LL h=pow(A,i,C);
     mp[h]=i;
   }
   LL h=pow(A,m,C);
   LL d,x,y;
   for(int i=;i<m;i++)
   {
     LL k=pow(h,i,C);
     exGcd(k,C,d,x,y);
     if(B%d!=) continue;
     x=((x*B/d%C)+C)%C;
     if(mp.find(x)!=mp.end()) return mp[x]+i*m;
   }
   return -;
 }
 int main()
 {
   LL A,B,C;
   while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&A,&B,&C)!=EOF)
   {
     printf("%I64d\n",BSGS(A,B,C));
   }
   return ;
 }

代码

　　二．     扩展Baby-Step-Giant-Step

　　　　对于C不是素数的情况，不能照搬上面的做法，但也大同小异。

　　　   下面我以hdu的模板题来介绍一下:

　　　　　 题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2815

　　　　　 题意: 给出3个数，A,C,B 表示 A^x ≡ B （mod C ） ，让你求最小的x ; 标准的模板题了，不过题目有些小坑，可以先看下discuss，自己找有点浪费时间，也没多大收获...

　　　　　

 #include<stdio.h>
 #include<stdlib.h>
 #include<math.h>
 #include<conio.h>
 #define Mod 40007       //取模的大小，哈希表的大小...
 #define Max 100000     //存放的总数
 #define EPS 0.000000001//精度
 typedef long long LL;
 class Hash             //手写哈希
 {
   public:
     int hs[Mod];       //哈希值  设定的哈希函数为 原值 % Mod ，所以哈希值有可能是 0 ~ Mod-1
     int next[Max];     //链表    存放哈希值相等的一条链，他的大小取决于所有原值的数量
     LL S[Max];         //存放原值
     int H[Max];        //存放所有哈希值
     int sn;            //不同原值的数量
     int hn;            //不同哈希值的数量
     Hash()             //构造函数: 定义Hash类变量时初始化
     {
       sn=;
       hn=;
       for(int i=;i<Mod;i++)
         hs[i]=;
     }
     void clear()       //清空函数
     {
       sn=;
       for(int i=;i<hn;i++)
         hs[H[i]]=;
       hn=;
     }
     void add(LL s)           //加入
     {
       int ha=abs(s)%Mod;     //计算哈希值
       if(hs[ha]==)          //如果该哈希值还未出现过
       {
         H[hn++]=ha;          //将该哈希值记录起来，同时哈希值数量加 1
       }
       sn++;                  //0 表示结尾，所以从1 开始存，原值数量加 1，特别针对 hs数组
       S[sn]=s;               //将原值记录起来
       next[sn]=hs[ha];       //原本原值记录位置
       hs[ha]=sn;             //最新原值记录位置，如果从0 开始存，就无法判断此时是空还是1个值
       //比如：5 和 10 有一样的哈希值 ，并且 5 和 10 先后加入 那么有：
       //5 加入: next[1] = 0; hs[5] = 1; hs[5] 是哈希值为5 的头，表示第一个原值在1的位置
       //10加入: next[2] = 1; hs[5] = 2; 表示第一个哈希值为5的在2，第二个在1，第三个不存在
     }
     int find(LL s)           //查找
     {
       int ha=abs(s)%Mod;     //计算哈希值
       int k=hs[ha];          //头
       while(k!=)
       {
         if(S[k]==s) return k;//找到
         k=next[k];           //下一个节点
       }
       return ;              //表示没找到
     }
 };
 int pow(int a,int b,int c)   //快速幂取模
 {
   LL ans=;
   a%=c;
   while(b>)
   {
     if(b&)
     {
       ans=(LL)ans*a%c;
     }
     b>>=;
     a=(LL)a*a%c;
   }
   return ans;
 }
 void exGcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)     //扩展欧几里得
 {
   if(b==)
   {
     d=a;
     x=;
     y=;
     return ;
   }
   exGcd(b,a%b,d,x,y);
   LL t=x;
   x=y;
   y=t-a/b*y;
 }
 int Gcd(int a,int b)            //最大公约数
 {
   return b?Gcd(b,a%b):a;
 }
 /*
   对于 A^x = B (mod C) 这个式子，如果无法保证C是素数，就得使用扩展Baby-Step-Giant-Step
   首先: 有 A^x = C * k + B ; 然后，我们一步步地消去 A 和 C 的公因子
   令 D 从 1 开始， 原式就可以化为 D*A^x = C*k+B;
                               --> D*A/(A,C)*A^(x-1) = C/(A,C)*k +B/(A,C);
                               --> ...
                               --> D*(A/(A,C))^(co))*A^(x-co) = C/((A,C)^co)*k + B/((A,C)^co)
   上面的那个循环知道 A、C互质时结束，没进行一次，D便等于 D*A/(A,C);
   最后，原式化为 D * A^(x-co) = B (mod C) 如果上面循环中，出现B无法整除的情况就表示无解退出
   这样，我们便保证了 D 和 A 都和 C 互质，这时候，便可以利用普通的Baby-Step-Giant-Step解决
   同时，要小心的一点就是，因为这样解出来的最小解是肯定大于co的，但如果真实解小于co，就会出
   错，所以我们可以事先枚举0 - p 的i，进行特判，这里的p=log(C)，因为每次消因子最少也要消去2，
   所以最多消log(C)次，co最大也就是这个了。
 */
 int BSGS(int A,int B,int C)     //扩展 Baby-Step-Giant-Step
 {
   Hash hp;
   for(int i=;i<;i++)         //枚举1 - log(C) ,可以稍大一点...
   {
     if(pow(A,i,C)==B) return i;
   }
   int tmp,co=;
   LL D=,k=;
   while((tmp=Gcd(A,C))!=)      //消因子循环
   {
     co++;
     if(B%tmp!=) return -;
     C/=tmp;
     B/=tmp;
     D=D*A/tmp%C;
   }
   hp.clear();
   int m=(int)(sqrt((double)C)-EPS);   //m=ceil(sqrt(C)),这里的ceil表示上取整
   for(int i=;i<m;i++,k=k*A%C)
     if(hp.find(k)==) hp.add(k);
   int d,x,y;
   for(int i=;i<m;i++)
   {
     exGcd(D,C,d,x,y);
     x=((LL)x*B%C+C)%C;                //不用进行B是否能整除d的判断，因为D和C永远互质
     int w=hp.find(x);
     if(w!=) return w-+co+i*m;
     D=D*k%C;                          //D最开始的时候和C互质，同时k也和C互质
   }
   return -;                          //找不到
 }
 int main()
 {
   int A,B,C;
   while(scanf("%d%d%d",&A,&C,&B)!=EOF)
   {
     if(B>=C)
     {
       printf("Orz,I can’t find D!\n");
       continue;
     }
     int t=BSGS(A,B,C);
     if(t==-)
       printf("Orz,I can’t find D!\n");
     else printf("%d\n",t);
   }
   return ;
 }